Catégorie opposée

En théorie des catégories, une branche des mathématiques, la catégorie opposée ou catégorie duale C^op d'une catégorie C donnée est la catégorie formée en inversant les morphismes, c'est-à-dire en interchangeant la source et la but de chaque morphisme de C. En effectuant l’inversion deux fois, on obtient la catégorie d’origine ; en symboles, $(C^{\text{op}}{)}^{\text{op}}=C$.

Exemples

• Si (X,≤) est un ensemble partiellement ordonné, on peut lui associer une catégorie C_(X,≤) dont les objets sont les éléments de X, avec une flèche f_x,y de x vers y si x≤y. Alors la catégorie opposée à C_(X,≤) est la catégorie associé à l'ordre ≥, défini par

x ≥ y si et seulement si y ≤ x.

• Étant donné un semi-groupe ( S, ·), on peut définir le semi-groupe opposé comme ( S, ·) ^op = ( S, *) où x * y ≔ y · x pour tout x, y dans S . Cette construction fonctionne également pour les groupes et pour les anneaux, appliquée au semi-groupe multiplicatif de l'anneau.

Propriétés

La catégorie opposée préserve les produits :

$(C\times D{)}^{\text{op}}\cong C^{\text{op}}\times D^{\text{op}}$

La catégorie opposée préserve les foncteurs :

$(\mathrm{F}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{t}(C,D){)}^{\text{op}}\cong \mathrm{F}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{t}(C^{\text{op}},D^{\text{op}})$ Modèle:,

De plus, dans la catégorie opposée sont échangés sommes et produits, sommes amalgamées et produits fibrés, limites inductives et limites projectives.

Voir aussi

• Dualité (théorie des catégories)
• Dualité (mathématiques)
• Foncteur adjoint
• Foncteur contravariant
• Foncteur opposé

Références

• Modèle:MacLane1
• Modèle:Ouvrage