Coefficient fibonomial

En mathématiques, les coefficients fibonomiaux ou Fibonacci-binomiaux sont définis, pour Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, deux entiers naturels tels que $0 ⩽ k ⩽ n$ par :

{(\binom{n}{k})}_{F} = \frac{n!_{F}}{k!_{F} (n - k)!_{F}}

où Modèle:Math est la Modèle:Mvar Modèle:E factorielle de Fibonacci , à savoir

{n!}_{F} = \prod_{i = 1}^{n} F_{i},

où Modèle:Mvar est le Modèle:Mvar Modèle:E nombre de Fibonacci (avec la convention Modèle:Math).

Pour $1 ⩽ k ⩽ n$ , on peut écrire ${(\binom{n}{k})}_{F} = \frac{F_{n} F_{n - 1} \dots F_{n - k + 1}}{F_{k} F_{k - 1} \dots F_{1}}$ .

Valeurs particulières

Les coefficients fibonomiaux sont entiers comme le montrera la relation de récurrence ci-dessous.

Voici quelques valeurs particulières :

{(\binom{n}{0})}_{F} = {(\binom{n}{n})}_{F} = 1

{(\binom{n}{1})}_{F} = {(\binom{n}{n - 1})}_{F} = F_{n}

{(\binom{n}{2})}_{F} = {(\binom{n}{n - 2})}_{F} = \frac{F_{n} F_{n - 1}}{F_{2} F_{1}} = F_{n} F_{n - 1},

{(\binom{n}{3})}_{F} = {(\binom{n}{n - 3})}_{F} = \frac{F_{n} F_{n - 1} F_{n - 2}}{F_{3} F_{2} F_{1}} = F_{n} F_{n - 1} F_{n - 2} / 2,

{(\binom{n}{k})}_{F} = {(\binom{n}{n - k})}_{F} .

Triangle fibonomial

De même que les coefficients binomiaux, disposés en triangle, forment le triangle de Pascal, les coefficients fibonomiaux, forment un triangle dit fibonomial, répertorié comme Modèle:OEIS.

En voici les huit premières lignes :


Modèle:Math								1
Modèle:Math							1		1
Modèle:Math						1		1		1
Modèle:Math					1		2		2		1
Modèle:Math				1		3		6=2×3		3		1
Modèle:Math			1		5		15=3×5		15		5		1
Modèle:Math		1		8		40=5×8		60		40		8		1
Modèle:Math	1		13		104=8×13		260		260		104		13		1

Relation de récurrence similaire à la relation de Pascal, permettant de construire le triangle, connaissant ses bords remplis de 1 :

{(\binom{n}{k})}_{F} = F_{n - (k - 1)} {(\binom{n - 1}{k - 1})}_{F} + F_{k - 1} {(\binom{n - 1}{k})}_{F} = F_{n - (k + 1)} {(\binom{n - 1}{k - 1})}_{F} + F_{k + 1} {(\binom{n - 1}{k})}_{F}

.

Autre relation, similaire à la formule du pion, permettant de construire le triangle :

{(\binom{n}{k})}_{F} = \frac{F_{n}}{F_{k}} {(\binom{n - 1}{k - 1})}_{F}

.

Les coefficients fibonomiaux sont reliés aux coefficients q-binomiaux par la formule :

{(\binom{n}{k})}_{F} = φ^{k (n - k)} {(\binom{n}{k})}_{- 1 / φ^{2}}

, où Modèle:Mvar est le nombre d'or,

φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

.

Ils vérifient le deuxième théorème de l'étoile de David :

{(\binom{n - 1}{k - 1})}_{F} {(\binom{n}{k + 1})}_{F} {(\binom{n + 1}{k})}_{F} = {(\binom{n - 1}{k})}_{F} {(\binom{n}{k - 1})}_{F} {(\binom{n + 1}{k + 1})}_{F}

Application

Dov Jarden a prouvé que les coefficients fibonomiaux apparaissent comme coefficients d'une relation entre puissances de nombres de Fibonacci généralisés consécutifs. Plus précisément, pour toute suite de Fibonacci généralisée $(G_{n})$ (c'est-à-dire satisfaisant à $G_{n} = G_{n - 1} + G_{n - 2}$ pour tout entier $n$ ), on a :

\sum_{i = 0}^{k + 1} (- 1)^{i (i + 1) / 2} {(\binom{k + 1}{i})}_{F} (G_{n - i})^{k} = 0,

pour tout entier $n$ et tout entier naturel $k$ ^[1].

Références

Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références

Modèle:MathWorld

Modèle:Portail

↑ Modèle:Ouvrage

[1] Modèle:Ouvrage

[1]

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