Analogues de la factorielle

En mathématiques, la factorielle d'un entier naturel Modèle:Math, notée Modèle:Math, est définie comme le produit des entiers de 1 à Modèle:Math. Par exemple, 7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5 040.

De nombreuses expressions analogues à la factorielle ont été définies ; cette page recense les variantes les plus fréquemment rencontrées.

Primorielle

La primorielle de Modèle:Math ne conserve, dans le produit définissant la factorielle, que les nombres premiers. Elle est notée Modèle:Math# ou P(Modèle:Math). Par exemple, P(7) = 2 × 3 × 5 × 7 = 210.

Multifactorielles

La multifactorielle d'ordre Modèle:Math de Modèle:Math ne conserve, dans le produit définissant la factorielle, qu'un facteur sur Modèle:Math, en partant de Modèle:Math.

Afin d'alléger l'écriture, une notation courante est d'utiliser Modèle:Math points d'exclamation suivant le nombre Modèle:Math pour noter cette fonction.

Double factorielle

Pour Modèle:Math = 2, la double factorielle de Modèle:Math (multifactorielle d'ordre 2), notée Modèle:Math, est définie par récurrence par :

$n!!=\{\begin{array}{cc}1& \text{si }0⩽n⩽1\\ n\times (n-2)!!& \text{si }n⩾2\end{array}$

Ainsi : $n!!=n\times (n-2)\times (n-4)\times \cdots \times (n-2\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor )$, où $\lfloor x\rfloor$ désigne la partie entière de Modèle:Math.

En séparant les cas :

$\{\begin{array}{c}(2n)!!=2\times 4\times \cdots \times 2n=2^{n}n!\\ (2n+1)!!=1\times 3\times \cdots \times (2n+1)=\frac{(2n+1)!}{2^{n}n!}\end{array}$

Autrement dit, Modèle:Math est le produit de tous les entiers de 1 à Modèle:Math qui ont même parité que Modèle:Math.

Les premières valeurs de Modèle:Math pour $n\in \mathbb{N}$ sont 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, .. ; Modèle:OEIS.

Les identités suivantes découlent de la définition :

$n!=n!!(n-1)!!$

$(2n+1)!!=\frac{(2n+1)!}{(2n)!!}=2^n{\left(\frac{1}{2}\right)}^{(n)}$ où $x^{(n)}$ est la factorielle montante

$(2n-1)!!=\frac{(2n)!}{(2n)!!}=\frac{(2n)!}{2^{n}n!}=\frac{n!}{2^n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{2,2,...,2})}{n!}$ (le dernier numérateur étant un coefficient multinomial)

$\mathrm{\Gamma }(n+\frac{1}{2})=(n-\frac{1}{2})!=\sqrt{\pi }\frac{(2n-1)!!}{2^n}$

On peut regrouper les formules précédentes en : $n!!=2^{\frac{n}{2}}\left(\frac{n}{2}\right)!{\left(\frac{2}{\pi }\right)}^{\frac{1-(-1{)}^n}{4}}$.

Il faut faire attention de ne pas interpréter la notation Modèle:Math comme la factorielle de Modèle:Math, qui serait écrite (Modèle:Math!)!, et qui est un nombre largement plus grand.

Multifactorielles d'ordre supérieur

À partir de Modèle:Mvar = 3, la Modèle:Mvar-ième multifactorielle est plutôt notée Modèle:Math ; sa définition par récurrence est :

$n{!}_q=\{\begin{array}{cc}1& \text{si }n=0\\ n& \text{si }1⩽n⩽q\\ n\times (n-q){!}_q& \text{si }n⩾q+1.\end{array}$

Ainsi, pour $n⩾1$, $n{!}_q=\prod _{\stackrel{1⩽k⩽n}{k\equiv nmodq}}k=\prod _{k=0}^{\lfloor \frac{n-1}{q}\rfloor }(n-kq)=n(n-q)\cdots (n-\lfloor \frac{n-1}{q}\rfloor q)$.

Premières valeurs de Modèle:Math : 1, 1, 2, 3, 4, 10, 18, 28, 80, 162, 280 ; Modèle:OEIS.

Premières valeurs de Modèle:Math : 1, 1, 2, 3, 4, 5, 12, 21, 32, 45, 120, 231 ; Modèle:OEIS.

Premières valeurs de Modèle:Math : 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 14, 24, 36, 50, 66 ; Modèle:OEIS.

Interprétations combinatoires

• Organisation d'un tournoi de tennis pour Modèle:Math joueurs jouant sur Modèle:Math terrains non numérotés.

Un des joueurs va sur un terrain : il a Modèle:Math adversaires potentiels qui peuvent le rejoindre sur ce terrain ; un des joueurs restant va sur un autre terrain : il a Modèle:Math adversaires possibles, etc : il y a Modèle:Math tournois possibles.

• La valeur précédente est en fait le nombre de partitions d'un ensemble à Modèle:Math éléments en Modèle:Math parties à deux éléments, comme le montre d'ailleurs la formule $(2n-1)!!=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{2,2,...,2})}{n!}$.

• C'est donc aussi le nombre de permutations de Modèle:Math objets sans point fixe qui sont produits de transpositions disjointes (ou dont les orbites possèdent deux éléments).

• Le nombre de permutations de Modèle:Math objets sans point fixe dont la décomposition en cycles disjoints est formée de cycles d'ordre pair (ou dont les orbites ont un nombre pair d'éléments) vaut Modèle:Math, voir la Modèle:OEIS.

• On montre que Modèle:Math est aussi le nombre de permutations de Modèle:Math objets dont la décomposition en cycles disjoints est formée de cycles d'ordre impair (ou dont les orbites ont un nombre impair d'éléments), ou ce qui revient au même, le nombre de permutations d'ordre impair.
• Le nombre de permutations d'ordre impair de Modèle:Math objets vaut Modèle:Math, voir la Modèle:OEIS.

Hyper-factorielle

L'hyper-factorielle de Modèle:Math, notée Modèle:Math, est définie par :

$H(n)=\prod _{k=1}^n{k}^k=1^1\cdot 2^2\cdot 3^3\cdots (n-1{)}^{n-1}\cdot n^n$.

Pour Modèle:Math = 1, 2, 3, 4, … les valeurs de Modèle:Math sont 1, 4, 108, Modèle:Nombre, … (Modèle:OEIS).

Super-factorielle

Neil Sloane et Simon Plouffe ont défini en 1995 la super-factorielle de Modèle:Mvar comme le produit des Modèle:Mvar premières factorielles :

$\mathrm{s}\mathrm{f}(n)=\prod _{k=1}^{n}k!=\prod _{k=1}^n{k}^{n-k+1}=1^n\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdots (n-1{)}^2\cdot n^1$.

Par exemple, la super-factorielle de 4 est :

$\mathrm{s}\mathrm{f}(4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288$.

La suite des super-factorielles débute (à partir de Modèle:Math) par :

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, … (voir la Modèle:OEIS)

L'idée fut étendue en 2000 par Henry Bottomley à la super-duper-factorielle, produit des Modèle:Mvar premières super-factorielles, débutant (depuis Modèle:Math) par :

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, … (voir la Modèle:OEIS)

puis, par récurrence, à n'importe quelle factorielle de niveau supérieur, où la factorielle de niveau Modèle:Mvar de Modèle:Mvar est le produit des Modèle:Mvar premières factorielles de niveau Modèle:Math, c’est-à-dire, en notant Modèle:Math la factorielle de Modèle:Mvar de niveau Modèle:Mvar :

$\mathrm{f}(n,m)=\mathrm{f}(n-1,m)\mathrm{f}(n,m-1)=\prod _{k=1}^n{k}^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k+m-1}{n-k})}$

où Modèle:Math pour Modèle:Math et Modèle:Math.

Voir aussi les super-primorielles.

Super-factorielle (autre définition)

Clifford Pickover, dans son livre Keys to Infinity (1995), définit la super-factorielle de Modèle:Math, notée Modèle:Math$ ($ étant un signe factoriel ! portant un S superposé), par :

$n\mathrm{\$}\equiv \begin{array}{c}\underbrace{n{!}^{{n!}^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^{n!}}}}}}\\ n!\end{array}$,

ou, en utilisant la notation de Knuth :

$n\mathrm{\$}=(n!)\uparrow \uparrow (n!)$.

Les premiers éléments de la suite des super-factorielles sont :

$1\mathrm{\$}=1$

$2\mathrm{\$}=2^2=4$

$3\mathrm{\$}=6\uparrow \uparrow 6=6^{6^{6^{6^{6^6}}}}$ ;

ce dernier nombre est beaucoup trop grand pour pouvoir être exprimé en notation scientifique usuelle.

Sous-factorielle

La fonction sous-factorielle, notée Modèle:Math, sert à calculer le nombre de dérangements de Modèle:Mvar objets distincts, c'est-à-dire le nombre de permutations possibles de ces Modèle:Mvar objets de manière qu'aucun objet ne reste à sa place.

Par exemple, il existe Modèle:Math façon de glisser Modèle:Mvar lettres dans Modèle:Mvar enveloppes affranchies et adressées de manière qu'aucune des lettres ne soit dans la bonne enveloppe.

Il existe différentes façons de calculer la sous-factorielle de Modèle:Mvar :

• $!n=n!\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k!}$
• $!n=\frac{\mathrm{\Gamma }(n+1,-1)}{\mathrm{e}}$

où Modèle:Math est la fonction gamma incomplète et Modèle:Math la base du logarithme népérien.

• $!n=\lfloor \frac{n!}{\mathrm{e}}\rceil$

où $\lfloor x\rceil$ désigne l'entier le plus proche de Modèle:Mvar.

• $!n=!(n-1)\times n+(-1{)}^n$
• $!n=(n-1)(!(n-1)+!(n-2))$
• $!n=(n-1)a_{n-2},\text{avec}{a}_0=a_1=1\text{et}{a}_n=n{a}_{n-1}+(n-1)a_{n-2}$.

Les premières valeurs de cette suite sont :

!1 = 0, !2 = 1, !3 = 2, !4 = 9, !5 = 44, !6 = 265, !7 = 1 854, !8 = 14 833 (Modèle:OEIS).

Factorielle de Fibonacci

La factorielle de Fibonacci ou fibonarielle de Modèle:Mvar, notée Modèle:Math est définie par  :

$n{!}_F=\prod _{1⩽k⩽n}{F}_k$, où Modèle:Mvar est le k-ième nombre de Fibonacci.

Les plus petites fibonarielles sont (à partir de Modèle:Math) : 1, 1, 2, 6, 30, 240, 3 120, 65 520, etc. (voir la Modèle:OEIS).

La suite des fibonarielles est équivalente à une fonction du nombre d'or Modèle:Mvar :

$n{!}_F\sim C\frac{{\phi }^{n(n+1)/2}}{5^{n/2}}$,

où Modèle:Mvar est la constante factorielle de Fibonacci Modèle:,

$C=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-{(-\frac{1}{{\phi }^2})}^k)\simeq 1,226742...$ (Modèle:OEIS).

Les factorielles de Fibonacci interviennent dans la définition des coefficients fibonomiaux.

q-factorielle

Modèle:Article détaillé Elle est définie par $n{!}_q=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1})$.

Factorielle exponentielle

Modèle:Article détaillé Une factorielle exponentielle est un entier naturel Modèle:Math élevé à la puissance Modèle:Math − 1, qui à son tour est élevé à la puissance Modèle:Math − 2, et ainsi de suite :

$n^{(n-1{)}^{(n-2)\cdots }}$.

Articles connexes

• Symbole de Pochhammer
• Problème des rencontres