Complexe de Čech

Complexe de Čech d'un ensemble de points disposés sur un cercle.

En topologie algébrique et en Modèle:Lien, le complexe de Čech est un complexe simplicial abstrait construit à partir d'un ensemble de points dans un espace métrique. Il est nommé d'après le mathématicien tchécoslovaque Eduard Čech.

Étant donnés un ensemble fini $X$ de points et $\epsilon >0$, le complexe de Čech ${\check{C}}_{\epsilon }(X)$ est défini comme l'ensemble des simplexes $\sigma \subset X$ tels que les boules de rayon $\epsilon$ et de centres les points de $\sigma$ ont une intersection non vide, c'est-à-dire :

${\check{C}}_{\epsilon }(X)=\{\sigma \subset X|\bigcap _{x\in \sigma }{B}_{\epsilon }(x)\ne \mathrm{\varnothing }\}.$

Il peut être vu comme le nerf de l'ensemble des boules de rayon $\epsilon$ centrées sur les points de $X$. Par le théorème du nerf, le complexe de Čech est homotopiquement équivalent à l'union des boules.

Le complexe de Čech est un sous-complexe du complexe de Vietoris–Rips.