Conjecture de Bateman-Horn

En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, la conjecture de Bateman-Horn (due à Paul T. Bateman et Roger A. Horn) est une vaste généralisation de conjectures telles que la conjecture de Hardy et Littlewood sur la densité des nombres premiers jumeaux ou leur conjecture sur les nombres premiers de la forme Modèle:Math ; c'est aussi un renforcement de l'hypothèse H de Schinzel.

Énoncé

La conjecture prédit un équivalent asymptotique du nombre des entiers positifs en lesquels un ensemble donné de polynômes ont tous des valeurs premières. L'ensemble des Modèle:Mvar polynômes irréductibles distincts à coefficients entiers Modèle:Math est tel que le produit Modèle:Mvar de tous les polynômes Modèle:Mvar possède la propriété de Bunyakovsky : aucun nombre premier Modèle:Mvar ne divise Modèle:Math pour chaque entier positif Modèle:Mvar.

Si Modèle:Math est le nombre d'entiers positifs inférieurs à Modèle:Mvar tel que tous les polynômes ont pour valeur un nombre premier, alors la conjecture est

$P(x)\sim \frac{C}{D}\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{(\log t{)}^m}$,

où Modèle:Mvar est le [[Produit eulérien|produit indexé par les nombres premiers Modèle:Mvar]]

$C=\prod _p\frac{1-N(p)/p}{(1-1/p{)}^m}$

Modèle:Math étant le nombre de solutions [[Congruence sur les entiers|mod Modèle:Mvar]] de $f(n)\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ où Modèle:Mvar est le produit des polynômes Modèle:Mvar, et Modèle:Mvar est le produit des degrés des polynômes.

Souvent, cette conjecture suppose que les polynômes Modèle:Mvar ont le coefficient du terme de plus haut degré positif. C'est une condition non nécessaire si l'on permet les nombres premiers négatifs (ce qui est raisonnable si l'on essaye de formuler la conjecture au-delà du cas classique des nombres entiers), mais en même temps, il est facile de remplacer les polynômes par leurs opposés si nécessaire pour se ramener au cas où les coefficients dominants sont positifs.

La propriété de Bunyakovsky implique

$N(p)<p$

pour tous les nombres premiers Modèle:Mvar, donc chaque facteur dans le produit infini Modèle:Mvar est strictement positif. Intuitivement, on peut alors espérer que la constante Modèle:Mvar soit elle-même strictement positive, et avec un certain travail, ceci peut être démontré (mais ce travail est nécessaire, car un produit infini de nombres strictement positifs peut très bien être nul).

Exemples

Si le système est formé de l'unique polynôme Modèle:Math, les valeurs de Modèle:Mvar qui conviennent sont tout simplement les nombres premiers, et la conjecture se réduit au théorème des nombres premiers.

Si le système est formé des deux polynômes Modèle:Math et Modèle:Math, les Modèle:Mvar pour lesquels Modèle:Math et Modèle:Math sont premiers correspondent aux nombres premiers jumeaux. La conjecture de Bateman–Horn se réduit dans ce cas à la conjecture de Hardy-Littlewood affirmant que la densité des nombres premiers jumeaux est

${\pi }_2(x)\sim 2\prod _{p\ge 3}\frac{p(p-2)}{(p-1{)}^2}\frac{x}{(\log x{)}^2}\approx 1,32\frac{x}{(\log x{)}^2}$.

Références

• Modèle:Article
• Modèle:En Andrew Granville, Analytic Number Theory, page 13, item (15)
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