Constante de Prouhet-Thue-Morse

En mathématiques et dans ses applications, la constante de Prouhet-Thue-Morse, portant les noms de Eugène Prouhet, Axel Thue et Marston Morse, est le nombre $\tau$ dont le développement binaire est la suite de Prouhet-Thue-Morse. En d'autres termes,

$\tau =\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{t_i}{2^{i+1}}=0,412454033640\dots$

où $t_i$ est le $i$Modèle:E terme de la suite de Prouhet-Thue-Morse.

Elle est répertoriée comme la Modèle:OEIS.

La série génératrice pour $t_i$ est donnée par

$\tau (x)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{t_i}{x}^i=\frac{1}{1-x}-2\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{t}_i{x}^i$

et peut être exprimée par

$\tau (x)=\prod _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(1-x^{2^n}).$

Ceci est un produit de Modèle:Lien, et ainsi se généralise aux corps commutatifs arbitraires.

Kurt Mahler a montré que ce nombre est transcendant en 1929. Comme la suite de Prouhet-Thue-Morse est une suite automatique, ce fait résulte maintenant du théorème général que tout nombre défini par une suite automatique est soit rationnel, soit transcendant.

Applications

La constante de Prouhet-Thue-Morse apparaît comme l'angle du Modèle:Lien à la fin de la suite des bourgeons à l'ouest de l'ensemble de Mandelbrot. Ceci peut être compris en raison de la nature du doublement de période dans l'ensemble de Mandelbrot.Modèle:Pas clair

Liens externes

• Modèle:En The ubiquitous Prouhet-Thue-Morse sequence, par John-Paull Allouche et Jeffrey Shallit (dans Sequences and their applications, Proceedings of SETA’98, Springer, 1999, p. 1-16) fournit de nombreuses applications de cette constante et décrit son histoire
• Modèle:Planetmath