Constante de Robbins

En géométrie, la constante de Robbins, du nom du mathématicien américain Modèle:Lien, est la distance moyenne entre deux points pris au hasard dans le cube unité (côté de longueur 1).

Elle est égale par définition à l'intégrale sextuple $I=\underset{[0,1{]}^6}{\int }\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}d{x}_{1}d{x}_{2}d{y}_{1}d{y}_{2}d{z}_{1}d{z}_2$ dont le calcul donne

$\frac{4+17\sqrt{2}-6\sqrt{3}-7\pi }{105}+\frac{\ln (1+\sqrt{2})}{5}+\frac{2\ln (2+\sqrt{3})}{5}$,

soit environ $0,6617$ (décimales données par la suite Modèle:OEIS2C de l'OEIS) .

Remarque :

• la distance moyenne entre deux points du segment unité vaut $1/3$
• la distance moyenne entre deux points du carré unité vaut $\frac{2+\sqrt{2}+5\ln (\sqrt{2}+1)}{15}\approx 0,5214$, voir la Modèle:OEIS
• la distance moyenne entre deux points du disque unité (rayon 1) vaut $\frac{128}{45\pi }\approx 0,9054$, voir la Modèle:OEIS.

Étapes de la démonstration du résultat ci-dessus

Si u et v suivent une loi uniforme alors $w=|u-v|$ suit une loi triangulaire de fonction de répartition $2(1-w)$. Donc en posant $x=|x_2-x_1|,y=|y_2-y_1|,z=|z_2-z_1|$, $I=8\underset{[0,1{]}^3}{\int }\sqrt{x^2+y^2+z^2}(1-x)(1-y)(1-z)dxdydz$ ; on passe ensuite en coordonnées sphériques.

Voir aussi

Bibliographie

François Le Lionnais, Les nombres remarquables, Hermann, 1983 puis 1999 Modèle:ISBN

Lien interne

• Constante parabolique universelle, donnant six fois la moyenne de la distance d'un point du carré unité au centre de ce carré.

Lien externe

• Modèle:MathWorldModèle:En