Constante oméga

Modèle:Confusion En mathématiques, la constante oméga, notée Ω, est le réel positif défini par l'égalité

Ω e^{Ω} = 1

,

Autres définitions

La constante Modèle:Math vérifie :

$Ω = W_{0} (1)$ .
En effet, la [[fonction W de Lambert|fonction Modèle:Math de Lambert]] est la réciproque de la fonction $t \mapsto t \exp (t)$ . Le nom de la constante provient de l'autre appellation de cette fonction : la fonction Oméga ;
$Ω = \exp (- Ω)$ ;
$Ω = - \ln Ω$ .

Toute suite définie par récurrence par une valeur initiale arbitraire Modèle:Math et $Ω_{n + 1} = e^{- Ω_{n}}$ converge vers Modèle:Math.

\int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{(e^{x} - x)^{2} + π^{2}} d x = \frac{1}{1 + Ω}

Ω = \frac{1}{π} Re \int_{0}^{π} \log (\frac{e^{e^{i t}} - e^{- i t}}{e^{e^{i t}} - e^{i t}}) d t = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} \log (1 + \frac{\sin t}{t} e^{t \cot t}) d t

^[1]

D'après le théorème d'Hermite-Lindemann, Modèle:Math est transcendant. En effet, si Modèle:Math était algébrique, $Ω = e^{- Ω}$ serait transcendant, ce qui est contradictoire.