Théorème d'Hermite-Lindemann
Le théorème d’Hermite-Lindemann affirme que si Modèle:Mvar est un nombre algébrique non nul (réel ou complexe), alors le nombre [[e (nombre)|Modèle:Math]]Modèle:Mvar est transcendant.
Il fut démontré en 1882 par Ferdinand von Lindemann[1].
En 1885, Karl Weierstrass en donna une généralisation, connue sous le nom de théorème de Lindemann-Weierstrass.
Une généralisation plus récente est le théorème de Baker.
Énoncé de la contraposée
Si Modèle:Mvar est un nombre algébrique non nul différent de 1, toutes les déterminations de son logarithme complexe sont transcendantes.
En particulier, si Modèle:Math et Modèle:Math est algébrique (par exemple un entier Modèle:Math) , alors Modèle:Math est transcendant.
Transcendance de Modèle:Math et Modèle:Math
En particulier, [[e (nombre)#Transcendance|Modèle:Math est transcendant]] (résultat montré par Charles Hermite en 1873[2] : c’est le théorème d’Hermite).
De même, Modèle:Math, donc Modèle:MathPi, sont transcendants puisque Modèle:Math est algébrique.
L'approche originelle d'Hermite pour Modèle:Math a été simplifiée et étendue à Modèle:MathPi par David Hilbert (en 1893)[3]Modèle:,[4], pour finalement devenir élémentaire grâce à Adolf Hurwitz et Paul Albert Gordan. Pour adapter à Modèle:Math la stratégie pour Modèle:Math, des faits à propos des polynômes symétriques jouent un rôle crucial.
Pour des informations détaillées concernant les démonstrations de la transcendance de Modèle:Math et Modèle:MathPi, voir les références et les annexes.
Application aux fonctions sinus et cosinus
On déduit du théorème d'Hermite-Lindemann la transcendance de tout nombre non nul t dont le sinus ou le cosinus est algébrique. En effet, compte tenu des formules d'Euler (les relations entre Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math), dès que l’un des trois est algébrique, tous trois le sont, en particulier Modèle:Math est algébrique, si bien que par contraposée du théorème, le nombre Modèle:Math est transcendant donc Modèle:Mvar aussi.
On en déduit par exemple que le nombre de Dottie, solution de est transcendant.
L'impossible quadrature du cercle
Pierre-Laurent Wantzel avait montré en 1837 que le problème de l'impossibilité de la quadrature du cercle pouvait être déduit de l'hypothétique transcendance du nombre Modèle:Math (voir théorème de Wantzel pour plus de détails). En prouvant que Modèle:Math n’est pas algébrique, Lindemann parvient donc à montrer qu’il est impossible de construire à la règle et au compas un carré de même aire qu’un disque donné, résolvant ainsi par la négative l’un des plus anciens problèmes de mathématiques depuis l’Antiquité.
Notes et références
Voir aussi
Bibliographie
Liens externes
- Modèle:Lien web (preuve de la transcendance de Modèle:Math, accompagnée d'une référence bibliographique)
- Modèle:Lien web (démonstration de la transcendance de Modèle:Math et Modèle:Math, puis du théorème de Lindemann-Weierstrass complet, tirée de Modèle:Harvsp et détaillée)
- Transcendance de Modèle:Math et Modèle:Math pour les nuls (mémoire de licence Modèle:1e sous la direction d'Alain Prouté, Université Paris-Diderot)