Constantes de Landau

En analyse complexe, les constantes de Landau décrivent le comportement des fonctions holomorphes définies sur le disque unité.

Définition

Soit Modèle:Mvar l'ensemble des fonctions holomorphes Modèle:Mvar sur le disque unité ouvert Modèle:Mvar et telles que

$f^{\prime }(0)=1$.

Pour toute fonction Modèle:Math, on définit :

• Modèle:Math, la borne supérieure des rayons des disques inclus dans l'image de Modèle:Mvar ;
• Modèle:Math, la borne supérieure des rayons des disques qui sont (par Modèle:Mvar) images biholomorphes d'une partie de Modèle:Mvar.

La Modèle:Lien Modèle:Math et la constante de Landau Modèle:Math sont alors définies par :

$\mathrm{B}=\inf \{{\mathrm{B}}_f\mid f\in F\}\text{et}\mathrm{L}=\inf \{{\mathrm{L}}_f\mid f\in F\}$.

Landau s'est aussi intéressé à la constante Modèle:Math définie par

$\mathrm{A}=\inf \{{\mathrm{B}}_f\mid f\in F_{\text{inj}}\}=\inf \{{\mathrm{L}}_f\mid f\in F_{\text{inj}}\}$.

où Modèle:Math est l'ensemble des fonctions Modèle:Math qui sont injectives, donc biholomorphes de Modèle:Mvar sur Modèle:Math.

Valeurs approchées

Les valeurs exactes de Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math ne sont pas connues, mais on sait que Modèle:Math, et plus précisément :

• $0,4332\approx \frac{\sqrt{3}}{4}+2\times 10^{-4}<\mathrm{B}\le \frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{3}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{11}{12}\right)}{\sqrt{1+\sqrt{3}}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{4}\right)}\approx 0,4719$ ;
• $0,5<\mathrm{L}\le \frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{3}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{5}{6}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{6}\right)}\approx 0,5432$ ;
• $0,566<\mathrm{A}<0,658$Modèle:,.