Coordonnées angulaires

En géométrie, les coordonnées angulaires d'un point relativement à un triangle donné, notées Modèle:Math sont, à une constante additive près, les angles orientés qu'ils forment avec les sommets d'un triangle.

Pour un triangle Modèle:Mvar, l'angle Modèle:Math est l'angle orienté $\widehat{APB}$, et ainsi de suite par permutation sur Modèle:Math.

Ces angles, et ceux formés par addition, sont considérés modulo Modèle:Math.

Propriétés

Représentation de trois systèmes de coordonnées d'un point par rapport à un triangle : trilinéaires Modèle:Math, angulaires Modèle:Math et tricycliques Modèle:Math

Définition

Pour un triangle ABC, les coordonnées angulaires d'un point P sont définies de façon unique si et seulement si P ne se situe pas sur le cercle circonscrit à ABC.

Somme

Les coordonnées angulaires d'un point P Modèle:Math vérifient Modèle:Math.

Liens avec les autres systèmes de coordonnées

Pour un point P de coordonnées angulaires Modèle:Math, ses coordonnées trilinéaires sont:

$(\frac{\sin ({\theta }_1)}{\sin (A-{\theta }_1)}:\frac{\sin ({\theta }_2)}{\sin (B-{\theta }_2)}:\frac{\sin ({\theta }_3)}{\sin (C-{\theta }_3)})$

Ses coordonnées barycentriques se déduisent donc :

$(\frac{a\sin ({\theta }_1)}{\sin (A-{\theta }_1)}:\frac{b\sin ({\theta }_2)}{\sin (B-{\theta }_2)}:\frac{c\sin ({\theta }_3)}{\sin (C-{\theta }_3)})$

Exemples

De par leur définition, l'expression des coordonnées angulaires d'un point ne sont pas simples, car le lien avec les autres systèmes de coordonnées n'est pas rationnel. On a quelques expressions simples, par exemple, les coordonnées angulaires du centre du cercle circonscrit au triangle de référence sont $(2A,2B,2C)$.

On leur préférera les coordonnées tricycliques, qui sont définies à partir des rayons des cercles circonscrits aux triangles formés par le point et deux sommets.