Correspondance de Springer

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, les représentations de Springer sont certaines représentations du groupe de Weyl W associées à des classes de conjugaison unipotentes d'un groupe algébrique semi-simple G. L'association est appelée la correspondance de Springer.

Description

La correspondance de Springer comporte un paramètre supplémentaire qui est une représentations d'un groupe fini $A(u)$ canoniquement déterminé par la classe de conjugaison unipotente. A chaque couple $(u,\varphi )$ composé d'un élément unipotent $u$ de $G$ et d'une représentation irréductible $\varphi$ du groupe $A(u)$, on peut associer soit une représentation irréductible du groupe de Weyl, soit 0. L'association

$(u,\varphi )\mapsto E_{u,\varphi }$

avec $u\in U(G),\varphi \in \widehat{A(u)},E_{u,\varphi }\in \hat{W}$ ne dépend que de la classe de conjugaison de $u$ et engendre une correspondance entre les représentations irréductibles du groupe de Weyl et les couples $(u,\varphi )$ modulo la conjugaison ; cette correspondance est appelée la correspondance de Springer. Chaque représentation irréductible de $W$ apparaît exactement une fois dans cette correspondance, même si $\varphi$ peut être une représentation non triviale. La correspondance de Springer, avec ses généralisations dues à Lusztig, joue un rôle clé dans la classification de Lusztig des représentations irréductibles des groupes de type Lie finis.

Construction

La Modèle:Harvsp de Tonny Albert Springer de 1976 procède en définissant une action de W sur les groupes de cohomologie l-adiques de dimension supérieure de la variété algébrique B_u des sous- groupes boréliens de G contenant un élément unipotent donné u d'un groupe algébrique semi-simple G sur un corps fini. Cette construction a été généralisée par Modèle:Harvsp qui a également éliminé certaines hypothèses techniques. Springer a donné plus tard une construction différente Modèle:Harvsp, utilisant la cohomologie ordinaire avec des coefficients rationnels et des groupes algébriques complexes.

Modèle:Harvsp ont donné une construction topologique des représentations de Springer en utilisant la variété de Steinberg et ont découvert les polynômes de Kazhdan-Lusztig dans leur processus de développement. La correspondance de Springer généralisée a été étudiée par Modèle:Harvsp et par Modèle:Harvsp dans ses travaux sur les faisceaux de caractères. Modèle:Harvsp ont donné encore une autre construction de la correspondance de Springer.

Exemple

Pour le groupe linéaire spécial $S{L}_n$, les classes de conjugaison unipotentes sont paramétrées par des partitions de $n$ : si $u$ est un élément unipotent, la partition correspondante est donnée par les tailles des blocs de Jordan de $u$. Les groupes '$A(u)$ sont tous triviaux.

Le groupe de Weyl $W$ est le groupe symétrique $S_n$ sur $n$ lettres. Ses représentations irréductibles sur un corps de caractéristique nulle sont également paramétrées par les partitions de $n$. La correspondance de Springer est une bijection dans ce cas , et elle est donnée, dans les paramétrisations standard, par transposition des partitions (de sorte que la représentation triviale du groupe de Weyl correspond à la classe unipotente régulière, et la représentation en signe correspond à l'élément d'identité de $G$).

Applications

La correspondance de Springer s'est avérée étroitement liée à la classification des idéaux primitifs dans l'algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie semi-simple complexe, à la fois comme principe général et comme outil technique. De nombreux résultats dans cette direction sont dus à Anthony Joseph. Une approche géométrique a été développée par Modèle:Harvsp.

Notes et références

Travaux de Springer

• 1976 — Modèle:Article
• 1978 — Modèle:Article
• 1982 — Modèle:Article
• 1977 — Modèle:Article

Travaux ultérieurs

• 1987 — Modèle:Article.
• 1989 — Modèle:Ouvrage.
• 1983 — Modèle:Article.
• 1980 — Modèle:Article.
• 1981 — Modèle:Article.
• 1985 — Modèle:Article.
• 1985 — Modèle:Article.

Un numéro spécial à la mémoire de T.A. Springer

• 2022 — Modèle:Article.
• 2022 — Modèle:Article.