Critère d'Eisenstein

En mathématiques, le « critère d'Eisenstein », publié auparavant par Theodor Schönemann, donne des conditions suffisantes pour qu'un polynôme à coefficients entiers soit irréductible sur l'anneau des polynômes à coefficients rationnels $\mathbb{Q}[X]$.

Énoncé

Considérons un polynôme Modèle:Math à coefficients entiers, que l'on note

$P(X)=a_n{X}^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\dots +a_{1}X+a_0.$

Supposons qu'il existe un nombre premier Modèle:Math tel que :

• $\mathrm{\forall }i\in \{0,1,\dots ,n-1\},$ Modèle:Math divise $a_i$ ;
• Modèle:Math ne divise pas Modèle:Math ;
• Modèle:Math ne divise pas Modèle:Math.

Alors Modèle:Math est irréductible dans l'anneau $\mathbb{Q}[X]$ des polynômes à coefficients rationnels. Si de plus Modèle:Math est primitif (par exemple s'il est unitaire) alors, d'après le lemme de Gauss, Modèle:Math est irréductible dans l'anneau $\mathbb{Z}[X]$ des polynômes à coefficients entiers.

Exemples

Considérons le polynômeModèle:Retrait

Nous examinons différents cas pour les valeurs de p suivantes :

• p = 2. 2 ne divise pas 15, on ne peut pas conclure ;
• p = 3. 3 ne divise pas 10, on ne peut pas conclure ;
• p = 5. 5 divise 15, le coefficient de Modèle:Math, et 10 le coefficient constant. 5 ne divise pas 3, le coefficient dominant. En outre, 25 = 5² ne divise pas 10. Ainsi, nous concluons grâce au critère d'Eisenstein que Modèle:Math est irréductible.

Dans certains cas, le choix du nombre premier peut ne pas être évident, mais peut être facilité par un changement de variable de la forme Modèle:Math, appelé translation. Par exemple, considérons le polynôme cyclotomique d'indice un entier premier Modèle:Math, c’est-à-dire le polynôme

$\frac{X^p-1}{X-1}=X^{p-1}+X^{p-2}+\cdots +X+1.$

Ce polynôme satisfait le critère d'Eisenstein, dans une nouvelle variable Modèle:Math après une translation Modèle:Math. Le coefficient constant est alors égal à Modèle:Math, le coefficient dominant est égal à 1 et les autres coefficients sont divisibles par Modèle:Math d'après les propriétés des coefficients binomiaux.

Généralisations

Eisenstein avait formulé son critère pour les cas où A est soit l'anneau des entiers relatifs, soit celui des entiers de Gauss. Ce sont deux anneaux principaux, mais le critère se généralise comme suit, sans modification de la démonstration :

Soit A un anneau factoriel, K son corps des fractions et un polynôme à coefficients dans A, noté

$P(X)=\sum _{i=0}^n{a}_i{X}^i$.

On suppose qu'il existe un élément premier Modèle:Mvar de A tel que

• $\mathrm{\forall }i\in \{0,1,\dots ,n-1\},$ Modèle:Mvar divise $a_i$ ;
• Modèle:Mvar ne divise pas Modèle:Math ;
• Modèle:Math ne divise pas Modèle:Math.

Alors Modèle:Math est irréductible dans K[X]. Si de plus Modèle:Math est primitif, alors il est aussi irréductible dans A[X].

Plus généralement, si

• $\mathrm{\forall }i\in \{0,1,\dots ,k-1\},$ Modèle:Mvar divise $a_i$,
• Modèle:Mvar ne divise pas Modèle:Math et
• Modèle:Math ne divise pas Modèle:Math,

alors l'un des facteurs irréductibles de Modèle:Math dans A[X] est de degré $\ge k$.

Voir aussi

Articles connexes

• Factorisation des polynômes
• Critère d'irréductibilité de Cohn
• Racine évidente