Racine évidente

L'expression racine évidente Modèle:Refsou. Elle désigne une racine d'une équation que l'on peut trouver sans faire appel à une méthode élaborée comme la méthode de Cardan pour les équations du troisième degré ou bien encore la méthode de Ferrari ou la méthode de Descartes pour les équations du quatrième degré. De nos jours, l'usage d'une calculatrice graphique donne la courbe de la fonction, et en montre ainsi les racines. Une vérification s'impose toutefois, car des approximations peuvent apparaitre.

Racine rationnelle

La recherche de racines rationnelles dans une équation à coefficients entiers est basée sur la propriété suivante, qui se déduit du lemme de Gauss :

En conséquence, pour rechercher une éventuelle racine rationnelle d'un polynôme, on établit la liste de tous les diviseurs de aModèle:Ind et celle de tous les diviseurs de aModèle:Ind et l'on essaye de remplacer l'inconnue dans l'équation par un rationnel de la forme p/q de toutes les façons possibles en choisissant p parmi les diviseurs de aModèle:Ind et q parmi les diviseurs de aModèle:Ind jusqu'à ce que l'équation soit vérifiée (une rapide étude de variations permet souvent de limiter ces essais en écartant d'emblée la plupart des « candidats » p/q).

En particulier si le polynôme est unitaire, ses seules éventuelles racines rationnelles sont nécessairement des entiers.

Exemple de détection d'une racine rationnelle

L'équationModèle:Retraita une unique solution réelle, strictement comprise entre 0 et 1.

Les diviseurs positifs du coefficient dominant sont 1 et 3. Ceux du coefficient constant sont 1, 2, 5 et 10.

Par conséquent, les seuls rationnels susceptibles d'être des racines sont $\frac{1}{3}$ et $\frac{2}{3}$.

En remplaçant Modèle:Math par chacune de ces deux valeurs, on trouve que $\frac{2}{3}$ est la solution.

Exemple de preuve d'irrationalité

Par application de l'identité $\cos (3a)=-3\cos a+4{\cos }^{3}a$ et de l'égalité $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$, les trois réels $\cos \frac{\pi }{9}$, $\cos \frac{5\pi }{9}$ et $\cos \frac{7\pi }{9}$ (strictement compris entre $-1$ et $1$) sont les solutions de l'équationModèle:RetraitMontrons qu'ils sont irrationnelsModèle:,. Si une fraction irréductible $\frac{p}{q}\in ]-1,1[$ était solution, on aurait $p\mid -1$ et $q\mid 8$ et même $q^2\mid 8$ (en remarquant que le polynôme de degré 3 n'a pas de terme de degré 2), donc $\frac{p}{q}=\pm \frac{1}{2}$. Mais $\frac{1}{2}=\cos \frac{\pi }{3}$ et $-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3}$ sont différents des trois réels solutions. Ces derniers sont donc irrationnels.

Application à la résolution d'équations

Modèle:Voir L'avantage de trouver une racine d'une équation de degré n est de pouvoir se ramener à la résolution d'une équation de degré n – 1. En effet, si un polynôme P de degré n a une racine α, il peut se factoriser sous la forme P(X) = (X – α)Q(X), où Q est de degré n – 1. La résolution de l'équation (de degré n) P(x) = 0 se ramène alors à celle de l'équation (de degré n – 1) Q(x) = 0.

Racine de la forme $a\sqrt{b}/c$

Une équation est susceptible d'avoir une racine de la forme $a\sqrt{b}/c$ si l'on constate, soit dans les coefficients de degré pair, soit dans les coefficients de degré impair de l'équation, la présence de $\sqrt{b}$.

Si c'est le cas, on pose alors :

$x=z\sqrt{b}$

et l'on est alors ramené au cas précédent, c'est-à-dire à chercher, dans une équation d'inconnue z, une racine rationnelle.

Exemple

Cherchons une racine de l'équation :

$x^4-x^3\sqrt{3}-3x^2-3x\sqrt{3}-18=0.$

Posons :

$x=z\sqrt{3}.$

On obtient :

$9z^4-9z^3-9z^2-9z-18=0$

qui se simplifie sous la forme :

$z^4-z^3-z^2-z-2=0.$

En procédant comme au premier paragraphe, on trouve comme racine :

$z=2$

et en reportant dans l'expression de x on trouve comme racine de l'équation en x :

$x=2\sqrt{3}.$

Racine de la forme Modèle:Math

Une équation est susceptible d'avoir une racine de la forme Modèle:Math si l'on constate, soit dans les coefficients de degré pair, soit dans les coefficients de degré impair de l'équation, la présence de l'unité imaginaire Modèle:Math.

Si c'est le cas, on pose alors :

$x=z\mathrm{i}$

et on est alors ramené au premier cas, c'est-à-dire à chercher, dans une équation d'inconnue z, une racine rationnelle.

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