Variations d'une fonction
Modèle:Exemple flottant En mathématiques, les variations d'une fonction réelle d'une variable réelle sont le caractère croissant ou décroissant des restrictions de cette fonction aux intervalles sur lesquels elle est monotone. Ces informations sont couramment rassemblées dans un tableau de variations.
Lorsqu'une fonction est dérivable, ses variations peuvent être déterminées à l'aide du signe de sa dérivée.
Notations et tableaux
Une variation croissante est symbolisée par une flèche droite dirigée vers le haut à droite, tandis qu'une variation décroissante est symbolisée par une flèche dirigée en bas à droite. Le cas d'une fonction constante sur un intervalle est éventuellement noté par une flèche horizontale dirigée vers la droite.
La juxtaposition de ces flèches dans l'ordre d'occurrence des variations donne ainsi l'allure de la courbe représentative de la fonction, notamment dans un tableau de variations. En dehors de ce contexte, il peut arriver que la stricte monotonie soit précisée en répétant le symbole fléché.
Fonctions élémentaires
Les variations des fonctions affines sont directement issues des règles arithmétiques suivantes :
- l'addition ou la soustraction d'une constante (quel que soit son signe) ne change pas le sens d'une inégalité ;
- la multiplication par une constante positive ne change pas le sens d'une inégalité ;
- la multiplication par une constante négative renverse le sens d'une inégalité ;
Par conséquent, une fonction affine de coefficient directeur positif (telle la fonction identité) est croissante sur tout son domaine de définition. Inversement, une fonction affine de coefficient directeur négatif est toujours décroissante.
Lorsqu'une fonction est affine (de la forme Modèle:Math), on a trois possibilités.
| si | si | si | ||
Modèle:Exemple flottant Une identité remarquable peut être utilisée pour démontrer que la fonction carré est décroissante sur l'ensemble des réels négatifs et croissante sur l'ensemble des réels positifs.
Modèle:Exemple flottant La positivité du produit et la mise au même dénominateur permet de montrer que la fonction inverse est décroissante sur l'ensemble des réels strictement positifs. Par changement de signe à la source et au but, la fonction est également décroissante sur l'ensemble des réels strictement négatifs mais elle ne l'est pas globalement sur l'ensemble des réels non nuls. Modèle:Clr
Fonctions composées
Si une fonction est monotone sur un intervalle Modèle:Mvar à valeurs dans un intervalle Modèle:Mvar et si une fonction Modèle:Mvar est monotone sur Modèle:Mvar, alors la composée Modèle:Math est monotone sur Modèle:Mvar et son sens est donné par une règle analogue à la règle des signes : si les deux fonctions ont le même sens de variation alors leur composée est croissante ; si elles sont de sens de variation contraires alors leur composée est décroissante.
Fonction dérivable
Modèle:Voir Si une fonction est dérivable sur un intervalle et de dérivée positive alors la fonction est croissante sur cet intervalle.
Par ailleurs, si une fonction croissante sur un intervalle ouvert Modèle:Math (non nécessairement dérivable) est définie et continue en Modèle:Mvar (resp. Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar) alors elle est croissante sur Modèle:Math (resp. Modèle:Math, Modèle:Math).
De même en remplaçant « dérivée positive » par « dérivée négative » et « croissante » par « décroissante ».
Prenons pour exemple la fonction définie sur ℝ.
Ainsi, on obtient le tableau suivant qui montre le lien entre la variation d'une fonction Modèle:Mvar et le signe des valeurs de sa dérivée Modèle:Mvar.