Décomposition de Doob-Meyer

La décomposition de Doob-Meyer permet de décomposer un processus stochastique intégrable adapté en une martingale et un processus prévisible :

Soit ${X_{n}}_{n \in ℕ}$ un processus intégrable ${ℱ_{n}}_{n \in ℕ}$ -adapté. La décomposition de Doob-Meyer est définie de la manière suivante :

$\forall n \in ℕ, X_{n} = X_{0} + A_{n} + M_{n}$

$A_{0}, M_{0} : = 0$

$\forall n \geq 1, A_{n} : = \sum_{k = 1}^{n} 𝔼 (Δ X_{k} | ℱ_{k - 1})$
$\forall n \geq 1, M_{n} : = \sum_{k = 1}^{n} (Δ X_{k} - 𝔼 (Δ X_{k} | ℱ_{k - 1}))$

Où ${M_{n}}_{n \in ℕ}$ est une ${ℱ_{n}}_{n \in ℕ}$ -martingale et ${A_{n}}_{n \in ℕ}$ est un processus ${ℱ_{n}}_{n \in ℕ}$ -prévisible. Cette décomposition est unique.

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