Détermination du jour de la semaine

La détermination du jour de la semaine est un algorithme utilisé pour déterminer le jour de la semaine (lundi, mardi, mercredi, jeudi, vendredi, samedi, ou dimanche) connaissant la date, basé sur la notion mathématique de congruence. Il est aussi appelé congruence de Zeller, du mathématicien allemand Christian Zeller.

Calendrier civil

L'année tropique moyenne (qui est désormais définie comme étant le temps nécessaire pour que la longitude écliptique du Soleil augmente de 360° – et non plus comme étant le temps séparant deux équinoxes de printemps successifs), donnée pour l'an 2000 par Pierre Bretagnon, astronome à l'Observatoire de Paris, compte Modèle:Unité, Modèle:Nobr, Modèle:Nobr Modèle:Nobr et Modèle:Unité, soit Modèle:Unité. Une année civile normale comprend Modèle:Nobr. Si aucune modification n'est réalisée, on commet tous les siècles une erreur de Modèle:Nobr Modèle:Nobr Modèle:Nobr et Modèle:Nobr, d'où des décalages dans les saisons.

• Les romains suivaient déjà cette division de l'année en Modèle:Nobr et instaurèrent tous les quatre ans une année de Modèle:Nobr ; ainsi l'année moyenne avait une longueur de Modèle:Nobr. En Modèle:Nobr on récupérait ainsi Modèle:Nobr ; mais c'est un peu trop : Modèle:Nobr Modèle:Nobr et Modèle:Nobr en excès. Au Concile de Nicée en 325, les évêques la dénomment année bissextile. Cela est valable dans le calendrier julien.
• Cependant, tous les quatre ans, ce système commet une erreur de 4 × Modèle:Unité, soit Modèle:Nobr, soit tous les mille ans une erreur de ~Modèle:Nobr. En 1582 le pape Grégoire XIII instaure le système des années séculaires : parmi les années divisibles par 100, seules les années divisibles par 400 sont bissextiles. De fait, on récupère Modèle:Nobr tous les Modèle:Nobr.

  $365+\frac{1}{4}-\frac{3}{400}=365,2425$ ; ainsi l'erreur n'est plus que de Modèle:Unité par an en moyenne, soit Modèle:Nobr de trop par rapport à l'année tropique ! L'écart cumulé serait alors de Modèle:Unité, soit Modèle:Nobr Modèle:Nobr Modèle:Nobr et Modèle:Nobr en Modèle:Unité.

[On doit ici mettre le conditionnel, car l'année tropique, indiquée ci-dessus pour l'an 2000, n'est pas constante ; elle diminue au cours des ans du fait que la vitesse de précession des équinoxes (qui était de Modèle:Unité par siècle le Modèle:Date-, et qui était précisément au Modèle:Date-, de 5 029,216 269" (~1,4°) par siècle, soit d'environ 50,3" par an, soit aussi d'environ 1° en Modèle:Nobr) croît elle-même de 2,211" par siècle par siècle, terme qui lui-même varie avec le temps en une longue période de Modèle:Nombre, tout comme la variation elle-même de l'obliquité de l'axe de la Terre, dont l'inclinaison actuellement diminue de 46,8" par siècle. Dans Modèle:Nombre, la vitesse de précession des équinoxes sera de ~52,52" par an, soit d'environ 1° en Modèle:Nobr. Il en découle que l'année tropique, dans Modèle:Nombre, sera plus courte qu'actuellement de Modèle:Nobr et elle vaudra Modèle:Unité. Cette diminution croissante donnera un effet cumulé d'encore 2 à Modèle:Nobr en plus des Modèle:Nobr pour l'écart déjà donné ci-dessus...]

• Ce principe est à la base du calendrier grégorien. L'erreur commise est de 1 jour tous les Modèle:Unité, ce qui, à l'échelle humaine, devient acceptable. Lors de la réforme du calendrier par Grégoire XIII, il n'y a pas eu de changement sur le nom du jour, seul le quantième a été modifié ; ainsi le Modèle:Date- a succédé au Modèle:Date- : Modèle:Nobr ont été sautés, ainsi les 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, Modèle:Date- n'ont pas existé dans le calendrier grégorien, mais existent bel et bien dans le calendrier julien qui, au fil des siècles, a pris maintenant Modèle:Nobr « de retard », les années séculaires 1700, 1800 et 1900 ayant été bissextiles dans le calendrier julien, mais plus dans le calendrier grégorien.

Détermination du jour

• Une année contient Modèle:Nobr plus 1 ou Modèle:Nobr suivant qu'elle est ou n'est pas bissextile. Le nombre résiduel de jours Modèle:Nobr s'écoulant en une année date pour date est donc 1 ou 2.
• Si $\overline{abcd}$ est la date d'une année comprise entre 400 et 9999, $\overline{ab}$ est la partie séculaire, $\overline{cd}$ la partie annuelle. La partie entière du quart de sa partie annuelle donne une approximation du nombre d'années bissextiles depuis le dernier millésime. On note $k$ le nombre :Modèle:Retraitoù $E$ désigne la fonction partie entière.
• L'idée est d'effectuer un calcul Modèle:Nobr, en déterminant dans un premier temps le jour du premier du mois correspondant. On doit tenir compte de la succession des mois (29, 30, ou Modèle:Nobr), et de la succession des années, avec la présence des années bissextiles.

Tableaux de valeurs

Valeurs du jour :

Dimanche	Lundi	Mardi	Mercredi	Jeudi	Vendredi	Samedi
0	1	2	3	4	5	6

Valeurs du mois :

Mois	Janvier	Février	Mars	Avril	Mai	Juin	Juillet	Aout	Septembre	Octobre	Novembre	Décembre
Année non bissextile	4	0	0	3	5	1	3	6	2	4	0	2
Année bissextile	3	6	0	3	5	1	3	6	2	4	0	2

Calendrier julien

La formule exacte est la suivante :

la valeur du jour vaut $(k+\overline{cd}+M+Q+6\overline{ab})mod7$

où $Q$ est le quantième du mois, $M$ la valeur du mois, et $k$ la partie entière du quart de la partie annuelle, et mod est la fonction modulo

Premier exemple pour le jour des vêpres siciliennes en date du Modèle:Date- qui sont connues comme ayant eu lieu un mardi (valeur associée 2) :

$k=20$ ; $\overline{cd}=82$ ; $M=0$ ; $Q=31$ ; $6\overline{ab}=72$ ; $k+\overline{cd}+M+Q+6\overline{ab}=205$ ; $205\equiv 2mod7$ (mardi).

Deuxième exemple pour le Modèle:Date- qui est un samedi (valeur associée 6) :

$k=14$ ; $\overline{cd}=59$ ; $M=0$ ; $Q=29$ ; $6\overline{ab}=72$ ; $k+\overline{cd}+M+Q+6\overline{ab}=14+59+0+29+72=174$ ; $174\equiv 6mod7$ (samedi).

Calendrier grégorien

Dans le calendrier grégorien (valable depuis le Modèle:Date-, et dans certains pays seulement), la valeur du jour est donnée par :

($k+q+\overline{cd}+M+Q+2+5\overline{ab}$) mod 7

où $Q$ est le quantième du mois, $M$ est la valeur du mois, $k$ est la partie entière du quart de la partie annuelle, $q$ la partie entière du quart de la partie séculaire, et mod est la fonction modulo La constante 2 est un ajustement, mais peut être évitée par un décalage des jours.

Premier exemple pour le jour de Pâques 2013 qui ne peut être qu'un dimanche (valeur associée 0) :

$k=E\left(\frac{13}{4}\right)=3$ ; $q=E\left(\frac{20}{4}\right)=5$ ; $\overline{cd}=13$ ; $M=0$ ; $Q=31$ ; $5\overline{ab}=100$ ; $k+q+\overline{cd}+M+Q+2+5\overline{ab}=3+5+13+0+31+2+100=154$ ; $154\equiv 0mod7$ (dimanche).

Deuxième exemple pour la date de naissance de son auteur Modèle:Date- qui est un jeudi (valeur associée 4) :

$k=E\left(\frac{39}{4}\right)=9$ ; $q=E\left(\frac{19}{4}\right)=4$ ; $\overline{cd}=39$ ; $M=4$ ; $Q=19$ ; $5\overline{ab}=95$ ; $k+q+\overline{cd}+M+Q+2+5\overline{ab}=9+4+39+4+19+2+95=172$ ; $172\equiv 4mod7$ (jeudi).

Voir aussi

Articles connexes

• Christian Zeller, mathématicien allemand inventeur de l'algorithme
• Calcul de la date de Pâques

Liens externes

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