Modulo (opération)

Modèle:Homon Modèle:À sourcer

En informatique, l'opération modulo^[1]Modèle:,^[2], ou opération mod^[3], est une opération binaire qui associe, à deux entiers naturels, le reste de la division euclidienne du premier par le second. Le reste de la division de a par n (n ≠ 0) est noté a mod n (ou a % n dans certains langages informatiques). Ainsi 9 mod 4 = 1, car 9 = 2×4 + 1 et 0 ≤ 1 < 4. De même 9 mod 3 = 0. L'opération peut être étendue aux entiers relatifs, voire aux nombres réels^[4], mais alors les langages de programmation peuvent diverger, en particulier a mod n n'est plus forcément positif ou nul^[5].

En mathématiques, l'usage du terme modulo est différent même s'il est lié : il ne désigne pas une opération mais intervient pour caractériser une relation de congruence sur les entiers (et plus généralement pour d'autres congruences) ; le mot clef mod associé n'est le plus souvent utilisé que pour noter cette congruence, même si un ouvrage comme Concrete Mathematics l'utilise également pour désigner l'opération binaire^[6].

Différentes définitions de la fonction modulo

L'opération mod associe à deux entiers naturels Modèle:Mvar et Modèle:Math le reste de la division euclidienne de Modèle:Mvar par Modèle:Mvar, qui est l'unique entier Modèle:Mvar vérifiant :

Modèle:Math pour un certain entier naturel Modèle:Mvar ;
Modèle:Math.

Par exemple :

Modèle:Math car 12 = 10 × 1 + 2 et 0 ≤ 2 < 10

c'est-à-dire que 2 est le reste de la division euclidienne de 12 par 10.

Usage

En mathématique le modulo est couramment utilisé pour définir des relations de congruence sur les entiers. C'est-à-dire des relations de comparaison circulaire typique, par exemple, des calculs calendaires.

En informatique, le modulo est classiquement utilisé dans le même esprit.

Exemple simple

Un exemple classique utilisé en mathématique et également représentatif de son usage en informatique, est le calcul sur une horloge.

En effet, sur une horloge, l'addition des heures est circulaire : s'il est 9h et que je rajoute 4h alors il est 13h, mais, sur une horloge qui repasse à 0 après le passage à 12, alors il est noté 1h.

On dit que les opérations sur l'horloge sont alors « modulo 12 ».

1 et 13 sont alors dit « congrus modulo 12 », ou encore :

1 ≡ 13 (mod 12).

En considérant le modulo comme une opération, comme c'est le cas en informatique, on écrirait :

Heure_finale = ( Heure_initiale + x ) mod 12

De manière générale, en informatique, l'opération modulo est utilisée pour toute opération circulaire similaire (calcul calendaire, certains parcours de tableau etc.)

Exemple avec des décalages circulaires

L'opération modulo permet d'effectuer un décalage circulaire d'indices. En effet, si l'on considère la suite des entiers contigus de 1 à n, u = (1, 2, 3…, n − 1, n), alors on peut décaler de p rangs avec :

uModèle:'_i = ((u_i + p − 1) mod n) + 1.

Par exemple, pour décaler de deux la suite (1, 2, 3, 4, 5) :

uModèle:'_i = ((u_i + 1) mod 5) + 1 ;

on a bien :

uModèle:'₁ = ((1 + 1) mod 5) + 1 = 3
uModèle:'₂ = ((2 + 1) mod 5) + 1 = 4
…
uModèle:'₄ = ((4 + 1) mod 5) + 1 = 1

et donc uModèle:' = (3, 4, 5, 1, 2).

Divergence des définitions dans les cas autres que les entiers naturels

L'analogie avec la définition du reste de la division euclidienne est brisée une fois qu'on l'étend aux entiers négatifs ou aux réels. Le comportement du modulo diffère alors en fonction des langages de programmation et ne respecte en général plus la définition mathématique du reste de la division euclidienne.

En effet, le reste de la division reste positif dans tous les cas (voir schéma ci-contre), contrairement à de nombreuses autres définitions utilisées en informatique (voir sections ci-après).

On décrit ci-dessous quelques-unes des définitions courantes dans les langages informatiques.

Les différentes définitions en informatique

Définition utilisant la partie entière (inférieure)

Modèle:Article connexe

Soit la notation $⌊ x ⌋$ définissant le plus grand entier inférieur ou égal à x.

Alors on peut poser une définition du modulo tel que :

a mod n = a - ⌊ \frac{a}{n} ⌋ \times n

L'opérateur mod retourne alors un modulo toujours compris entre 0 (inclus) et le diviseur n (exclu) et qui a le même signe que le diviseur n. Ce qui le distingue du reste de la division euclidienne puisque le modulo peut alors être négatif quand le quotient est négatif.

Exemple :

Dividende	Diviseur	Quotient	Reste
117	17	6	15
−117	17	−7	2
−117	−17	6	−15
117	−17	−7	−2
12,7	3,5	3	2,2

Cette définition vérifie les lois de l'arithmétique modulo, plus : x mod −y = −((−x) mod y). Elle convient pour les calculs cycliques. La valeur modulaire retournée est toujours du signe du diviseur (le diviseur étant positif dans la plupart des calculs cycliques).

Définition utilisant la troncature de la partie décimale

$[x]$ est la troncature entière de x.

a mod n = a - [\frac{a}{n}] \times n

L'opérateur mod retourne alors :

un modulo positif inférieur à $| n |$ pour a positif.
un modulo négatif supérieur à $- | n |$ pour a négatif.

Exemple :

Dividende	Diviseur	Quotient	Reste
117	17	6	15
−117	17	−6	−15
−117	−17	6	−15
117	−17	−6	15

Le modulo a le même signe que l'opérande gauche.

Cette définition vérifie la loi: x mod −y = x mod y. Elle viole la loi (x+n) mod n = x mod n.

Définition utilisant l'arrondi

On peut également utiliser l'arrondi en définissant le quotient tel que :

$q = a r r o n d i (\frac{a}{b})$

Où « arrondi » est la fonction arrondi.

Le reste, résultat du modulo, est alors défini par :

$r = a - n \times a r r o n d i (\frac{a}{b})$

Cette définition est notamment utilisée dans le langage LISP.

Définition utilisant la partie entière supérieure

Soit la notation $⌈ x ⌉$ définissant le plus petit entier supérieur ou égal à x.

Alors on peut poser une définition du quotient ainsi :

$q = ⌈ \frac{a}{n} ⌉$

Et la définition du modulo tel que :

$a mod n = a - ⌈ \frac{a}{n} ⌉ \times n$

Le comportement est proche de celui de la partie entière inférieure.

Ce comportement est également trouvé en LISP.

Comparaison sous forme de tableau

Modèle:...

comparaison des opérateurs Modulo
		partie entière		troncature		fonct. euclidienne
Dividende	Diviseur	Quotient	Reste	Quotient	Reste	Quotient	Reste
117	17	6	15	6	15	6	15
−117	17	−7	2	−6	−15	-7	2
−117	−17	6	−15	6	−15	7	2
117	−17	−7	−2	−6	15	-6	15
12,7	3,5	3	2,2

Comportement avec des opérandes non entiers

D'un point de vue strictement mathématique, il n'existe pas d'équivalent strict au modulo dans l'espace des réels. Il peut exister des équivalences partielles mais certaines opérations ne sont alors plus valables.

Toutefois, du strict point de vue des définitions utilisées dans les langages informatiques, les deux définitions informatiques précédentes du modulo restent valide et permettent donc à x et y d'être des nombres rationnels (ou réels en mathématiques, bien que les systèmes informatiques de calcul numérique ne sachent travailler que sur un sous-ensemble des nombres rationnels, du fait de limites de précision).

Cependant, par analogie avec la fonction mathématique, en C, C++, PHP et de nombreux langages, l'opérateur mod ou % n'opère que sur les types entiers. A contrario : dans certains cas l'opérateur modulo est étendu aux réels. Attention, parce que suivant le langage, les types numériques sont parfois convertis implicitement en entiers (par coercition) ce qui peut donner l'impression que l'opérateur est étendu aux réels quand ce n'est pas le cas.

Comportement des langages de programmation

Tableau récapitulatif des différents opérateurs et de leur définition en fonction du langage informatique
Langage	Opérateur	Prend en charge les entiers ?	Prise en charge nombres flottants ?	Définition utilisée
ABAP	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Euclidienne
ActionScript	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
Ada (langage)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)^[7]
Ada (langage)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature^[7]
ALGOL 68	Modèle:Code, Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Euclidienne
AMPL	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
APL	`\|`Modèle:Efn	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Partie entière (inférieure)
AppleScript	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
AutoLISP de AutoCAD	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
AWK	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
bash	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
BASIC	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Dépend de l'implémentation
bc (voir bc (Unix))	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
C^[8]Modèle:Break C++	Modèle:Code, Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	TroncatureModèle:Efn
	Modèle:Code (C)Modèle:Break Modèle:Code (C++)	Modèle:No	Modèle:Yes	Troncature^[9]
	Modèle:Code (C)Modèle:Break Modèle:Code (C++)	Modèle:No	Modèle:Yes	Arrondi
C#	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Troncature
C#	Modèle:Code	Modèle:No	Modèle:Yes	Arrondi^[10]
Clarion (langage)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
Modèle:Lien	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
Clojure	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)^[11]
Clojure	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature^[12]
COBOL	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)^[13]
COBOL	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Troncature^[13]
CoffeeScript	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
CoffeeScript	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)^[14]
ColdFusion	Modèle:Code, Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
Common Intermediate Language	Modèle:Code (signed)	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Troncature^[15]
Common Intermediate Language	Modèle:Code (unsigned)	Modèle:Yes	Modèle:No	Modèle:N/A
Common Lisp	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Partie entière (inférieure)
Common Lisp	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Troncature
Crystal (langage de programmation)	Modèle:Code, Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Partie entière (inférieure)
Crystal (langage de programmation)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Troncature
D (langage)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Troncature^[16]
Dart (langage)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Euclidienne^[17]
Dart (langage)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Troncature^[18]
Eiffel (langage)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
Elixir (langage)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature^[19]
Elixir (langage)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)^[20]
Elm (langage)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)^[21]
Elm (langage)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature^[22]
Erlang (langage)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
Erlang (langage)	Modèle:Code	Modèle:No	Modèle:Yes	Troncature (identique au C)^[23]
Euphoria (langage)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)
Euphoria (langage)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
F#	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Troncature
F#	Modèle:Code	Modèle:No	Modèle:Yes	Arrondi^[10]
Factor	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
FileMaker	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)
Forth (langage)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Dépend de l'implémentation
	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)
	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
Fortran	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Troncature
Fortran	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Partie entière (inférieure)
Modèle:Lien	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)
(Modèle:Lien) (standard ANSI)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Partie entière (inférieure)^[24]
(Modèle:Lien) (standard ANSI)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Troncature^[25]
GLSL	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Non défini^[26]
GLSL	Modèle:Code	Modèle:No	Modèle:Yes	Partie entière (inférieure)^[27]
GameMaker Studio (GML)	Modèle:Code, Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
GDScript (Godot)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
	Modèle:Code	Modèle:No	Modèle:Yes	Troncature
	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)
	Modèle:Code	Modèle:No	Modèle:Yes	Partie entière (inférieure)
Go (langage)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature^[28]
	Modèle:Code	Modèle:No	Modèle:Yes	Troncature^[29]
	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Euclidienne^[30]
Groovy (langage)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
Haskell	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)^[31]
	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature^[31]
	Modèle:Code (GHC)	Modèle:No	Modèle:Yes	Partie entière (inférieure)
Haxe	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
HLSL	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Non défini^[32]
J (langage)	`\|`Modèle:Efn	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)
Java (langage)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Troncature
Java (langage)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)
JavaScript Modèle:Break TypeScript	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Troncature
Julia (langage)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Partie entière (inférieure)^[33]
Julia (langage)	Modèle:Code, Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Troncature^[34]
Kotlin (langage)	Modèle:Code, Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Troncature^[35]
Kotlin (langage)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Partie entière (inférieure)^[36]
ksh	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature (identique à POSIX sh)
ksh	Modèle:Code	Modèle:No	Modèle:Yes	Troncature
LabVIEW	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Troncature
LibreOffice	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)
Logo (langage)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)
Logo (langage)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
Lua (langage) 5	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Partie entière (inférieure)
Lua (langage) 4	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Troncature
(Modèle:Lien)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
Mathcad	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)
Maple	Modèle:Code (by default), Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Euclidienne
	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Arrondie
	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Arrondie
Mathematica	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)
MATLAB	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)
MATLAB	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
Maxima (logiciel)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)
Maxima (logiciel)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
Maya Embedded Language	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
Microsoft Excel	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Partie entière (inférieure)
Minitab	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)
Modula-2	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)
Modula-2	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
MUMPS	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)
Netwide Assembler (NASM, NASMX)	Modèle:Code, Modèle:Code (unsigned)	Modèle:Yes	Modèle:No	Modèle:N/A
Netwide Assembler (NASM, NASMX)	Modèle:Code (signed)	Modèle:Yes	Modèle:No	Dépends de l'implémentation^[37]
Nim (langage)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
Oberon (langage)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Proche de Partie entière (inférieure)Modèle:Efn
Objective-C	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature (identique à C99)
Object Pascal, Delphi (langage)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
OCaml	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature^[38]
OCaml	Modèle:Code	Modèle:No	Modèle:Yes	Troncature^[39]
Occam (langage)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
Pascal (langage) (ISO-7185 and -10206)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Proche de l'EuclidienneModèle:Efn
Perl (langage)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)Modèle:Efn
Perl (langage)	Modèle:Code	Modèle:No	Modèle:Yes	Troncature
Phix	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)
Phix	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
PHP	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature^[40]
PHP	Modèle:Code	Modèle:No	Modèle:Yes	Troncature^[41]
PIC BASIC Pro	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
PL/I	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure) (ANSI PL/I)
PowerShell	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
Programming Code (PRC)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Undefined
Progress (Progress Software)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
Prolog (ISO 1995)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)
Prolog (ISO 1995)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
PureBasic	Modèle:Code, Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
PureScript	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Euclidean^[42]
Pure Data	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature (same as C)
Pure Data	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)
Python	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Partie entière (inférieure)
Python	Modèle:Code	Modèle:No	Modèle:Yes	Troncature
Q#	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature^[43]
R (langage)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Partie entière (inférieure)^[44]
Racket	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)
Racket	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
Raku	Modèle:Code	Modèle:No	Modèle:Yes	Partie entière (inférieure)
RealBasic	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
Reason	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
Rexx	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Troncature
RPG	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
Ruby	Modèle:Code, Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Partie entière (inférieure)
Ruby	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Troncature
Rust	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Troncature
Rust	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Euclidienne^[45]
SAS	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
Scala	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Troncature
Scheme	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)
Scheme	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
Scheme R⁶RS	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Euclidienne^[46]
	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Arrondie^[46]
	Modèle:Code	Modèle:No	Modèle:Yes	Euclidienne
	Modèle:Code	Modèle:No	Modèle:Yes	Arrondie
Scratch	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Partie entière (inférieure)
Modèle:Lien	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Partie entière (inférieure)
Modèle:Lien	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Troncature
Modèle:Lien	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)
Modèle:Lien	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
[[POSIX shell\|Modèle:Code (POSIX)]] (includes bash, mksh, &c.)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature (same as C)^[47]
Smalltalk	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)
Smalltalk	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
Snap!	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)
Modèle:Lien	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)
Solidity	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)
SQL (SQL:1999)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
SQL (SQL:2011)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
Standard ML	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)
	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
	Modèle:Code	Modèle:No	Modèle:Yes	Troncature
Stata	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Euclidienne
Swift	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature^[48]
	Modèle:Code	Modèle:No	Modèle:Yes	Arrondie^[49]
	Modèle:Code	Modèle:No	Modèle:Yes	Troncature^[50]
Tcl	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)
Tcl	Modèle:Code	Modèle:No	Modèle:Yes	Troncature (as C)
tcsh	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
Torque	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
Modèle:Lien	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)
Verilog (2001)	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
VHDL	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Partie entière (inférieure)
VHDL	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
VimL	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
Visual Basic	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
WebAssembly	Modèle:Code, Modèle:Code (unsigned)	Modèle:Yes	Modèle:No	Modèle:N/A^[51]
WebAssembly	Modèle:Code, Modèle:Code (signed)	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature^[51]
Modèle:Lien	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Troncature
Modèle:Lien	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Troncature
Modèle:Lien	Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Partie entière (inférieure)
Zig	Modèle:Code, Modèle:Code, Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:Yes	Troncature^[52]
Modèle:Lien	Modèle:Code, Modèle:Code	Modèle:Yes	Modèle:No	Euclidienne

Quelques détails concernant certains langages suivants la définition utilisant la partie entière inférieure

Perl : $a % $n est défini sur les entiers ; les opérandes réels sont tronqués vers 0 par coercition ;
Visual Basic : a Mod n est défini sur les réels et sur les entiers, et renvoie un entier si les deux opérandes sont entiers ;
Pascal (ISO 7185) : a mod n n'admet que des opérandes entiers, et n doit être strictement positif ;
Excel : MOD(a;n) fonctionne sur les nombres réels ;
Python : La FAQ explique ce choix par l'exemple suivant :

Modèle:Citation bloc

Quelques détails concernant certains langages suivants la définition utilisant la troncature

Free Pascal et Delphi n'autorisent que des opérandes entiers, et la définition du langage^[53] précise : « Le signe du résultat est le signe de l'opérande gauche » ;
C^[8], C++ : a % n demande des opérandes entiers ;
PHP : $a % $n est défini sur les entiers et retournera un résultat ayant le même signe que $a ;
Scilab : modulo(a, n) accepte des réels.

Si l'on souhaite utiliser le modulo dans sa définition partie entière inférieure pour l'un de ces langages on peut utiliser l'expression :

   (a % n + n) % n

Valeur d'un modulo 0 (valeur 'zéro')

Dans la plupart des langages, l'opération modulo ne donne aucun résultat si le diviseur est nul, mais lance une exception arithmétique de division par zéro.

Équivalence

Les opérations sur les modulos peuvent être réduites ou étendues de la même manière que les autres opérations mathématiques.

Identité:
- $(a mod n) mod n = a mod n$
- $n^{x} mod n = 0$ pour tous les entiers strictement positifs $x$ .
- Si $n$ est un nombre premier qui n'est pas un diviseur de $b$ , alors $a b^{n - 1} mod n = a mod n$ , d'après le petit théorème de Fermat.
Inverse:
- $((- a mod n) + (a mod n)) mod n = 0$
- $b^{- 1} mod n$ est l'inverse modulaire, qui est défini si et seulement si $b$ et $n$ sont premiers entre eux, ce qui est le cas quand la partie gauche est définie: $((b^{- 1} mod n) (b mod n)) mod n = 1$ .
Distributivité:
- $(a + b) mod n = ((a mod n) + (b mod n)) mod n$
- $a b mod n = ((a mod n) (b mod n)) mod n$
- D’où : $a^{2} mod n = (a mod n)^{2} mod n$
Division (définition): $\frac{a}{b} mod n = ((a mod n) (b^{- 1} mod n)) mod n$ , quand l'opérande de gauche est défini. Non définie sinon.
Multiplication inverse: $((a b mod n) (b^{- 1} mod n)) mod n = a mod n$

Notes et références

Notes

Références

Modèle:Références

Modèle:Portail

↑ Modèle:Lien web
↑ Modèle:Ouvrage
↑ Modèle:Ouvrage, Modèle:P..
↑ Modèle:Article, p. 128-129.
↑ Modèle:Harvsp, et note marginale p. 88.
↑ Modèle:Harvsp, pour l'opération binaire, Modèle:P. pour la congruence. Les auteurs n'utilisent le terme modulo que pour la relation de congruence, mais nomment « mod » l'opération binaire.
↑ ^7,0 et ^7,1 Modèle:Article
↑ ^8,0 et ^8,1 Depuis ISO C99. En ISO C90, en cas d'opérande négatif, le signe du résultat était défini par l'implémentation.
↑ Modèle:Article
↑ ^10,0 et ^10,1 Modèle:Lien web
↑ Modèle:Lien web
↑ Modèle:Lien web
↑ ^13,0 et ^13,1 Modèle:Ouvrage
↑ CoffeeScript operators
↑ Modèle:Ouvrage
↑ Modèle:Lien web
↑ Modèle:Lien web
↑ Modèle:Lien web
↑ Modèle:Lien web
↑ Modèle:Lien web
↑ Modèle:Lien web
↑ Modèle:Lien web
↑ Modèle:Lien web
↑ Modèle:Ouvrage
↑ Modèle:Ouvrage
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↑ ^31,0 et ^31,1 Modèle:Lien web
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↑ ^46,0 et ^46,1 r6rs.org
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↑ Modèle:Lien web
↑ ^51,0 et ^51,1 Modèle:Lien web
↑ Modèle:Lien web
↑ Modèle:Lien web.

[1] Modèle:Lien web

[2] Modèle:Ouvrage

[3] Modèle:Ouvrage, Modèle:P..

[portal.acm.org-4] Modèle:Article, p. 128-129.

[5] Modèle:Harvsp, et note marginale p. 88.

[6] Modèle:Harvsp, pour l'opération binaire, Modèle:P. pour la congruence. Les auteurs n'utilisent le terme modulo que pour la relation de congruence, mais nomment « mod » l'opération binaire.

[Ada-7] 7,0 et ^7,1 Modèle:Article

[ref_auto_1-8] 8,0 et ^8,1 Depuis ISO C99. En ISO C90, en cas d'opérande négatif, le signe du résultat était défini par l'implémentation.

[9] Modèle:Article

[.NET-10] 10,0 et ^10,1 Modèle:Lien web

[11] Modèle:Lien web

[12] Modèle:Lien web

[isocobol-13] 13,0 et ^13,1 Modèle:Ouvrage

[CoffeeScript-14] CoffeeScript operators

[15] Modèle:Ouvrage

[16] Modèle:Lien web

[17] Modèle:Lien web

[18] Modèle:Lien web

[19] Modèle:Lien web

[20] Modèle:Lien web

[21] Modèle:Lien web

[22] Modèle:Lien web

[23] Modèle:Lien web

[24] Modèle:Ouvrage

[25] Modèle:Ouvrage

[26] Modèle:Lien web

[27] Modèle:Lien web

[28] Modèle:Lien web

[29] Modèle:Lien web

[30] Modèle:Lien web

[Haskell_2010-31] 31,0 et ^31,1 Modèle:Lien web

[32] Modèle:Lien web

[33] Modèle:Lien web

[34] Modèle:Lien web

[35] Modèle:Lien web

[36] Modèle:Lien web

[37] Modèle:Lien web

[38] Modèle:Lien web

[39] Modèle:Lien web

[40] Modèle:Lien web

[41] Modèle:Lien web

[purescript_euclid-42] Modèle:Lien web

[43] Modèle:Lien web

[44] Modèle:Lien web

[rust_rem_euclid-45] Modèle:Lien web

[r6rs-46] 46,0 et ^46,1 r6rs.org

[47] Modèle:Lien web

[48] Modèle:Lien web

[49] Modèle:Lien web

[50] Modèle:Lien web

[wasmcs2-51] 51,0 et ^51,1 Modèle:Lien web

[52] Modèle:Lien web

[53] Modèle:Lien web.

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Modulo (opération)

Sommaire

Différentes définitions de la fonction modulo

Usage

Exemple simple

Exemple avec des décalages circulaires

Divergence des définitions dans les cas autres que les entiers naturels

Les différentes définitions en informatique

Définition utilisant la partie entière (inférieure)

Définition utilisant la troncature de la partie décimale

Définition utilisant l'arrondi

Définition utilisant la partie entière supérieure

Comparaison sous forme de tableau

Comportement avec des opérandes non entiers

Comportement des langages de programmation

Quelques détails concernant certains langages suivants la définition utilisant la partie entière inférieure

Quelques détails concernant certains langages suivants la définition utilisant la troncature

Valeur d'un modulo 0 (valeur 'zéro')

Équivalence

Notes et références

Notes

Références

Menu de navigation

Modulo (opération)

Différentes définitions de la fonction modulo

Usage

Exemple simple

Exemple avec des décalages circulaires

Divergence des définitions dans les cas autres que les entiers naturels

Les différentes définitions en informatique

Définition utilisant la partie entière (inférieure)

Définition utilisant la troncature de la partie décimale

Définition utilisant l'arrondi

Définition utilisant la partie entière supérieure

Comparaison sous forme de tableau

Comportement avec des opérandes non entiers

Comportement des langages de programmation

Quelques détails concernant certains langages suivants la définition utilisant la partie entière inférieure

Quelques détails concernant certains langages suivants la définition utilisant la troncature

Valeur d'un modulo 0 (valeur 'zéro')

Équivalence

Notes et références

Notes

Références

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