Densité sur une variété

En géométrie différentielle, une densité est une notion qui sert à définir une intégrale indépendante de toute orientation. Ce faisant, elle sert d'abord à pouvoir intégrer sur une variété différentielle qui n'est pas orientable. Ensuite, la notion de densité sert aussi à définir une mesure positive sur une variété différentielle et, par conséquent, à pouvoir parler de densité de probabilité sur une variété différentielle.

Densité sur un espace vectoriel

Définition : Une densité sur un espace vectoriel réel $V$ de dimension $n$ est une application $f:{\otimes }^{n}V\to ℝ$ telle que :

$f(A{v}_1,...,A{v}_n)=|\det (A)|f(v_1,...,v_n),\mathrm{\forall }A\in \mathrm{G}\mathrm{L}(n;ℝ),\mathrm{\forall }{v}_1,...,v_n\in V$

Remarque : Cette définition se généralise au cas d'une densité définie sur un espace vectoriel complexe, voir.

Densité sur une variété

Considérons une variété différentielle $M$ de dimension $n$ et soit $\pi :\mathrm{F}\mathrm{r}(M)\to M$ son fibré des repères tangents. Considérons la représentation de groupe suivante :

$\rho :\mathrm{G}\mathrm{L}(n;ℝ)\to ({ℝ}_{+},\cdot );\lambda \mapsto |\det (\lambda ){|}^{-1}$

De cette représentation $\rho$ on peut définir sur la variété $M$ le $ℝ$-fibré vectoriel associé suivant :

$E:=\mathrm{F}\mathrm{r}(M){\times }_{\rho }ℝ$

Définition : Une densité sur une variété $M$ est une section du fibré $E$.

Remarque : Point par point, une densité sur une variété $M$ est une densité d'espace vectoriel pour les fibres du fibré tangent $TM$.

Exemples

Exemple 1 : Soit $\mathrm{\Omega }$ une forme volume sur $M$. Alors, la valeur absolue $|\mathrm{\Omega }|$ définie en tout point $x\in M$ par :

$|\mathrm{\Omega }|(v_1,...,v_n):=|\mathrm{\Omega }(v_1,...,v_n)|,\mathrm{\forall }{v}_1,...,v_n\in T_{x}M$

est une densité sur $M$.

Exemple 2 : Soit $(M,\omega )$ une variété symplectique. Alors la valeur absolue de la forme volume de Liouville $\mathrm{\Omega }={\omega }^n/n!$ est la densité de Liouville $|\mathrm{\Omega }|$.

Applications

Parmi les applications de la notion de densité sur une variété différentielle mentionnons :

• intégration sur une variété différentielle non orientable ;
• intégrales définies positives indépendamment de l'orientation pour définir une mesure :

$\mu (U)=\underset{U}{\int }|\mathrm{\Omega }|$

Ceci permet entre autres de considérer une densité de probabilité sur une variété différentielle, par exemple dans un contexte de quantification géométrique.