Droite réelle achevée

(a) Droite réelle achevée et (b) droite projective réelle obtenue par identification des deux points extrêmaux de la droite réelle achevée

En mathématiques, la droite réelle achevée est l'ensemble ordonné constitué des nombres réels auxquels sont adjoints deux éléments supplémentaires : un plus grand élément, noté Modèle:Math et un plus petit élément, noté Modèle:Math. Elle est notée Modèle:Math, ℝ ∪ Modèle:Math ou Modèle:Surligner (notation toutefois ambiguë, car la barre signifie généralement « complémentaire » en théorie des ensembles, ou « adhérence » en topologie).

Cet ensemble est très utile en analyse, notamment pour généraliser les formules et théorèmes sur les limites sans avoir à effectuer une disjonction des cas, et dans certaines théories de l'intégration.

Propriétés

Opérations

L'addition et la multiplication, définies sur l'ensemble des réels, sont partiellement étendues comme suit à la droite achevée.

Addition

Pour tout Modèle:Math, Modèle:Math.

Pour tout Modèle:Math, Modèle:Math.

Multiplication

Pour tout Modèle:Math :

• Modèle:Math si Modèle:Math et Modèle:Math si Modèle:Math ;
• Modèle:Math si Modèle:Math et Modèle:Math si Modèle:Math ;

Opérations indéterminées

Modèle:Refsou, parce qu'on ne rajoute pas suffisamment d'éléments (voir « Indice d'un sous-groupe »). On préfère donc ne pas définir (Modèle:Math) + (Modèle:Math).

De même, dans le cadre des calculs de limites, on ne donne aucun sens aux produits ou [[Division par zéro|quotients par Modèle:Math]] de Modèle:Math ou Modèle:Math. Cependant, en théorie de la mesure et en analyse convexe, on adopte souvent la convention $0\times \pm \mathrm{\infty }=0$.

Récapitulatif

L'addition et la multiplication partiellement étendues à la droite réelle achevée sont résumées dans les tableaux suivants, les cases grisées représentant les formes indéterminées :

$+$ $-\mathrm{\infty }$ $y\in ℝ$ $+\mathrm{\infty }$ $-\mathrm{\infty }$ $-\mathrm{\infty }$ $-\mathrm{\infty }$ $x\in ℝ$ $-\mathrm{\infty }$ $x+y$ $+\mathrm{\infty }$ $+\mathrm{\infty }$ $+\mathrm{\infty }$ $+\mathrm{\infty }$

$\times$ $-\mathrm{\infty }$ $y<0$ $0$ $y>0$ $+\mathrm{\infty }$ $-\mathrm{\infty }$ $+\mathrm{\infty }$ $+\mathrm{\infty }$ $-\mathrm{\infty }$ $-\mathrm{\infty }$ $x<0$ $+\mathrm{\infty }$ $x\times y$ $0$ $x\times y$ $-\mathrm{\infty }$ $0$ $0$ $0$ $0$ $x>0$ $-\mathrm{\infty }$ $x\times y$ $0$ $x\times y$ $+\mathrm{\infty }$ $+\mathrm{\infty }$ $-\mathrm{\infty }$ $-\mathrm{\infty }$ $+\mathrm{\infty }$ $+\mathrm{\infty }$

Relation d'ordre

L'ensemble Modèle:Surligner est muni d'une relation d'ordre, notée ⩽, qui étend la relation d'ordre usuelle sur ℝ. Cette relation est telle que Modèle:Math est le plus petit élément de Modèle:Surligner et Modèle:Math le plus grand élément.

Ainsi, si $(a,b)\in {ℝ}^2$, avec $a⩽b$ au sens de la relation d'ordre usuelle sur ℝ, on a :

$-\mathrm{\infty }⩽a\le b⩽+\mathrm{\infty }.$

Comme celle sur ℝ, la relation d'ordre usuelle sur Modèle:Surligner est totale.

La droite réelle achevée est un treillis complet, c'est-à-dire que toute partie de cet ensemble admet une borne supérieure et une borne inférieure, y compris l'ensemble vide ∅ (Modèle:Math est sa borne inférieure et Modèle:Math sa borne supérieure, comme expliqué dans le § « Exemples » de l'article sur les bornes supérieure et inférieure).

Métriques et topologie

L'ordre sur Modèle:Surligner induit une topologie de l'ordre : une base d'ouverts est constituée des intervalles de la forme ]a, Modèle:Math] ou [[[:Modèle:Math]], b[ ou ]a, b[ avec a et b réels. La topologie induite sur ℝ par cette topologie sur Modèle:Surligner est donc la topologie de l'ordre de ℝ, c'est-à-dire sa topologie usuelle. Autrement dit : les voisinages dans Modèle:Surligner d'un réel x sont les mêmes que ceux définis par la topologie usuelle sur ℝ, augmentés éventuellement de Modèle:Math et/ou de Modèle:Math.

Tout point de Modèle:Surligner possède une base de voisinages dénombrable. Par exemple :

• les intervalles ]n, Modèle:Math] avec n entier (ou entier positif) forment une base de voisinages de Modèle:Math ;
• les intervalles [[[:Modèle:Math]], n[ avec n entier (ou entier négatif) forment une base de voisinages de Modèle:Math ;
• pour tout réel x, les intervalles ]x – 1/n, x + 1/n[ avec n entier strictement positif forment une base de voisinages de x.

L'espace topologique Modèle:Surligner est même métrisable, mais aucune distance ne s'impose naturellement plus qu'une autre ; en particulier, il n'existe sur Modèle:Surligner aucune distance continue qui soit une extension de la distance usuelle sur ℝ.

Parmi les distances induisant la topologie de Modèle:Surligner, on peut citer :

• $d^{\prime }(x,y)=|\arctan y-\arctan x|$, en comptant $\arctan \pm \mathrm{\infty }=\pm \pi /2$
• $d^{\prime }(x,y)=|\tanh y-\tanh x|$, en comptant $\tanh \pm \mathrm{\infty }=\pm 1$

En effet, l'application Modèle:Math (Modèle:Abbr wikitexte Modèle:Math) est un isomorphisme d'ensembles ordonnés de ℝ dans Modèle:Math (resp. dans Modèle:Math), donc se prolonge en un isomorphisme d'ensembles ordonnés de Modèle:Surligner dans Modèle:Math (resp. dans Modèle:Math), qui est par conséquent un homéomorphisme entre les topologies associées à ces ordres.

Ces homéomorphismes montrent aussi que Modèle:Surligner est compact.

Voir aussi

• Compactifié d'Alexandrov
• Sphère de Riemann