Empilement compact de sphères identiques

Illustration de l'empilement hexagonal compact (à gauche) et CFC (à droite) de sphères identiques.

En géométrie, un empilement compact de sphères identiques est un cas particulier d'empilement compact appliqué à des sphères congruentes dans un arrangement régulier infini, ou réseau. Carl Friedrich Gauss a démontré que la compacité la plus élevée — c'est-à-dire la plus grande fraction d'espace pouvant être occupée par un empilement de sphères identiques — vaut dans ce cas Modèle:Nobr.

La même Modèle:Lien peut être obtenue par des empilements alternés de sphères en plans compacts, y compris des structures apériodiques dans la direction d'empilement. La conjecture de Kepler stipule qu'il s'agit de la densité la plus élevée qui peut être obtenue par tout arrangement de sphères, régulier ou irrégulier. Cette conjecture a été démontrée par Thomas HalesModèle:,. La densité d'empilement compact de sphères identiques la plus élevée n'est connue que pour les dimensions 1, 2, 3, 8 et 24.

• Les deux empilements compacts principaux.
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  Modèle:Centrer
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  Modèle:Centrer

De nombreuses structures cristallines reposent sur un empilement compact d'un seul type d'atome ou sur un empilement compact d'ions de grande taille avec des ions plus petits occupant les sites interstitiels entre les ions de grande taille. L'arrangement cubique à faces centrées (CFC) et l'arrangement hexagonal compact (HC) ont des énergies internes très semblables, de sorte qu'il peut être difficile de prédire en première approche laquelle de ces deux structures sera préférée.

Modèle:Abréviation	CFC
L'arrangement hexagonal compact (HC) s'observe en fonction d'un plan triangulaire et fait alterner deux positions des sphères selon un arrangement d'orthobicoupole hexagonale dont les 12 sommets représentent la position des 12 sphères en contact avec la sphère centrale. L'arrangement cubique à faces centrées (CFC), en revanche, peut être observé selon deux plans différents, triangulaire ou carré, dans un cuboctaèdre.

Dans un empilement compact de sphères identiques, chaque sphère est en contact avec 12 autres sphères. À chaque sphère est associé un site interstitiel octaédrique (entouré de six sphères) et deux sites interstitiels tétraédriques (entourés de quatre sphères) plus petits. La distance entre deux sites octaédriques vaut $\sqrt{\frac{3}{2}}$ tandis que la distance entre deux sites tétraédriques vaut $\sqrt{2}$, lorsque le rayon des sphères vaut 1.

• Sites interstitiels octaédriques (rouge) et tétraédriques (bleu).
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  Modèle:Centrer
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  Modèle:Centrer

Plans A, B et C

Par rapport à une couche d'empilement compact hexagonal plan choisie arbitrairement comme référence et notée A, il existe deux manières de placer le plan compact hexagonal au-dessus du premier : le positionnement B et le positionnement C :

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  Modèle:Centrer

Comparaison entre empilements hexagonal compact (Modèle:Abréviation, à droite) et hexagonal compact double (Modèle:Abréviation, à gauche). Le premier est constitué d'empilements Modèle:Nobr contre Modèle:Nobr pour le second.

L'empilement compact de sphères identiques atteint la densité maximum lorsque les plans A, B et C alternent sans répétition de plans adjacents, que ce soit selon une séquence périodique ou non. Certaines de ces séquences périodiques correspondent à des structures cristallines usuelles :

• AB AB AB AB correspond à une structure hexagonale compacte (HC, ou Modèle:Abréviation en anglais), observée à l'état standard de deux métaux alcalino-terreux (Be et Mg), six lanthanides (Gd, Tb, Dy, Ho, Er et Tm), seize métaux de transition (Sc, Ti, Co, Y, Zr, Tc, Ru, Lu, Hf, Re, Os, Lr, Rf, Bh, Hs et Cn), trois métaux pauvres (Zn, Cd et Tl) et peut-être de Nh, ou encore à moins de Modèle:Unité sous au moins Modèle:Unité dans l'hélium solide Modèle:Math ;
• ABAC ABAC correspond à une structure hexagonale compacte double (HCD, ou Modèle:Abréviation en anglais), typique des cinq premiers lanthanides (La, Ce, Pr, Nd et Pm) et des quatre actinides centraux (Am, Cm, Bk et Cf) ;
• ABC ABC ABC correspond à une structure cubique à faces centrées (CFC, ou Modèle:Abréviation en anglais), observée à l'état standard de deux métaux alcalino-terreux (Ca et Sr), un lanthanide (Yb), six actinides (Ac, Th, Es, Fm, Md et No), neuf métaux de transition (Ni, Cu, Rh, Pd, Ag, Ir, Pt, Au et Mt), trois métaux pauvres (Al, Pb et At), six gaz nobles solides ([[Hélium solide|He Modèle:Serif]], Ne, Ar, Kr, Xe et Rn), et peut-être Fl et Og.

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  Modèle:Centrer

Il existe un nombre infini de séquences d'empilements apériodiques parfois appelées collectivement empilements de Barlow, du nom du géologue William Barlow.