Ennéacontagone

Un ennéacontagone est un polygone à 90 sommets, donc 90 côtés et Modèle:Unité.

La somme des angles internes d'un ennéacontagone non croisé vaut Modèle:Unité.

Ennéacontagones réguliers

Un ennéacontagone régulier est un ennéacontagone dont les côtés ont même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a douze : onze étoilés (notés {90/k} pour k impair de 7 à 43 sauf les multiples de 3 ou 5) et un convexe (noté {90}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on parle de « l'ennéacontagone régulier ».

Les douze ennéacontagones réguliers.

Représentation
Symbole de Schläfli	{90}	{90/7}	{90/11}	{90/13}	{90/17}	{90/19}
Angle interne	176°	152°	136°	128°	112°	104°
Représentation
Symbole de Schläfli	{90/23}	{90/29}	{90/31}	{90/37}	{90/41}	{90/43}
Angle interne	88°	64°	56°	32°	16°	8°

Caractéristiques de l'ennéacontagone régulier

Chacun des 90 angles au centre mesure $\frac{360^{\circ }}{90}=4^{\circ }$ et chaque angle interne mesure $\frac{15840^{\circ }}{90}=176^{\circ }$.

Si Modèle:Math est la longueur d'une arête :

• le périmètre vaut $P=90a$ ;
• l'aire vaut $A=\frac{90}{4}{a}^2\cot \left(\frac{\pi }{90}\right)$ ;
• l'apothème vaut $H=\frac{2A}{P}=\frac{a}{2}\cot \left(\frac{\pi }{90}\right)$ ;
• le rayon vaut $R=\frac{H}{\cos \left(\frac{\pi }{90}\right)}=\frac{a}{2\sin \left(\frac{\pi }{90}\right)}$.