Enveloppe supérieure

En mathématiques, l'enveloppe supérieure d'une famille de fonctions définies sur un même ensemble E et à valeurs dans [[Droite réelle achevée|Modèle:Surligner]] est la fonction sur E dont la valeur en tout point x de E est la borne supérieure des valeurs en x de ces fonctions.

Définition

L'enveloppe supérieure d'une famille $(f_i{)}_{i\in I}$ d'applications d'un ensemble $E$ dans la droite réelle achevée $\overline{ℝ}$ est l'application Modèle:Centrer

La notation $\underset{i\in I}{\sup }{f}_i$ est justifiée par le fait que l'enveloppe supérieure de la famille $(f_i{)}_{i\in I}$ n'est autre que sa borne supérieure, dans le treillis complet $\stackrel{E}{\stackrel{‾}{ℝ}}$ des applications de $E$ dans $\overline{ℝ}$.

On définit de même l'enveloppe inférieure avec $\inf$.

Propriétés

• Avec les notations précédentes, l'épigraphe de l'enveloppe supérieure de la famille $(f_i{)}_{i\in I}$ est l'intersection des épigraphes des $f_i$ :Modèle:CentrerOn en déduit que :
  • $\underset{i\in I}{\sup }{f}_i$ est convexe si $E$ est un ℝ-espace vectoriel et si les $f_i$ sont convexes ;
  • $\underset{i\in I}{\sup }{f}_i$ est « fermée » (c'est-à-dire semi-continue inférieurement) si $E$ est un espace topologique et si les $f_i$ sont fermées.
• Soit $E$ un espace localement convexe séparé. Une fonction de $E$ dans $ℝ\cup \{+\mathrm{\infty }\}$ est convexe et fermée (si et) seulement si elle est l'enveloppe supérieure de ses minorantes affines continues.

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage
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