Espace lenticulaire
Un espace lenticulaire est une variété de dimension 3, construit comme espace quotient de la [[n-sphère|sphère SModèle:3]] par l'action libre d'un groupe cyclique d'ordre premier. Les espaces lenticulaires forment une famille, dont les membres sont notés L(p, q). L'adjectif « lenticulaire » vient d'une certaine représentation du domaine fondamental du groupe cyclique, qui ressemble à l'intersection de deux cercles. Leur relative simplicité en fait des objets étudiés en topologie algébrique, notamment en théorie des nœuds, en K-théorie et en théorie du cobordisme.
Les espaces lenticulaires sont intéressants en ce qu'ils sont difficiles à classer : deux tels espaces peuvent avoir même homotopie ou même homologie mais ne pas être homotopiquement équivalents ; ou encore ils peuvent être homotopiquement équivalents sans pour autant être homéomorphes.
La question de comment distinguer les espaces lenticulaires est à l'origine de plusieurs développements en topologie algébrique. C'est finalement pour résoudre ce problème qu'a été introduite la Modèle:Lien, qui donne la première réponse satisfaisante. D'une manière générale on peut comprendre la différence entre ces espaces comme exprimant une Modèle:Lien. Le rho invariant est un autre moyen de distinguer les espaces lenticulaires, issu de l'étude des cobordismes.
Les espaces lenticulaires possèdent un Modèle:Lien de genre 1. Ce sont en particulier des variétés de Seifert, bien que la structure fibrée ne soit pas unique.
Définition
Soit p un nombre premier et q un nombre premier à p. On note Modèle:Math. L'action (libre) de ℤ/pℤ sur la sphère SModèle:3 ≃ S(ℂModèle:2) est donnée par :
L'espace quotient correspondant est l'espace lenticulaire L(p, q).
Classification
Soient p et q deux entiers premiers entre eux. Les invariants usuels ne distinguent pas les espaces lenticulaires :
- Le groupe fondamental ne dépend pas de q : Modèle:MathModèle:Ind(L(p, q)) = ℤ/pℤ.
- Les groupes d'homotopie supérieurs sont ceux de la sphère : Modèle:MathModèle:Ind(L(p, q)) = Modèle:MathModèle:Ind(SModèle:3) pour tout i > 1.
- Les groupes d'homologie ne dépendent pas de q.
Pourtant, si l'on note L = L(p, q) et L' = L(p, qModèle:'),
- L est homotopiquement équivalent à L' si et seulement si q = ± kModèle:2q' avec k ∈ ℤ/pℤ ;
- L est homéomorphe à L' si et seulement si q = ± qModèle:' Modèle:Exp ;
- L et L' sont h-cobordants si et seulement s'ils sont homéomorphes.