Espace quasi-métrique

En mathématiques, la notion d'espace quasi-métrique généralise celle d'espace métrique. Les quasi-distances (ou quasi-métriques), non nécessairement symétriques, sont fréquentes dans la vie courante, mais rarement utilisées en mathématiques, et le vocabulaire est fluctuant.

Définition

Une quasi-distance sur un ensemble $E$ est une fonction

$\mathrm{d}:E\times E\to {ℝ}_{+}$

telle que pour tout $x,y,z\in E$,

1. $\mathrm{d}(x,y)=0⟺x=y$ (séparation) ;
2. $\mathrm{d}(x,z)\le \mathrm{d}(x,y)+\mathrm{d}(y,z)$ (inégalité triangulaire) ;

Un espace quasi-métrique est un couple $(E,\mathrm{d})$ où $E$ est un ensemble et $\mathrm{d}$ est une quasi-distance sur $E$.

Remarques :

• Une quasi-distance symétrique est une distance.
• Toute quasi-distance $\mathrm{d}$ induit une distance ${\mathrm{d}}^{\prime }$ en posant :

${\mathrm{d}}^{\prime }(x,y)=\frac{\mathrm{d}(x,y)+\mathrm{d}(y,x)}{2}$.

Exemple

Considérons un système de routes, dont certaines sont éventuellement à sens unique. Le temps nécessaire pour aller d'un endroit à un autre en passant par la route donne une quasi-distance.

Liens externes

• Modèle:Planetmath

Voir aussi

• Espace métrique
• Espace pseudo-métrique
• Espace uniforme