Espace pseudo-métrique

Modèle:Ébauche En mathématiques, un espace pseudo-métrique est un ensemble muni d'une pseudo-distance. C'est une généralisation de la notion d'espace métrique.

Sur un espace vectoriel, tout comme une norme induit une distance, une semi-norme induit une semi-distance. Pour cette raison, en analyse fonctionnelle et dans les disciplines mathématiques apparentées, l'expression « espace semi-métrique » est utilisée comme synonyme d'espace pseudo-métrique (alors qu'« espace semi-métrique » a un autre sens en topologie).

Définition

Une pseudo-distance sur un ensemble $E$ est une fonction

$\mathrm{d}:E\times E\to {ℝ}_{+}$

telle que pour tout $x,y,z\in E$,

1. $\mathrm{d}(x,x)=0$ ;
2. $\mathrm{d}(x,y)=\mathrm{d}(y,x)$ (symétrie) ;
3. $\mathrm{d}(x,z)\le \mathrm{d}(x,y)+\mathrm{d}(y,z)$ (inégalité triangulaire).

Autrement dit, une pseudo-distance est un écart à valeurs finies.

Un espace pseudo-métrique est un ensemble muni d'une pseudo-distance.

À la différence de ceux d'un espace métrique, les points d'un espace pseudo-métrique ne sont pas nécessairement discernables — c'est-à-dire que l'on peut avoir $\mathrm{d}(x,y)=0$ pour des points distincts $x\ne y$.

Exemples

Espace	Pseudo-distance	Propriétés et remarques
Un ensemble $X$ quelconque non vide.	$d(x,y):=0$	Cette pseudo-distance vérifie la séparibilité si et seulement si $X$ est un singleton.
L'espace ${ℝ}^X$ des fonctions à valeurs réelles définies sur $X$.	$d(f,g):=|f(x_0)-g(x_0)|$ où $x_0\in X$ est fixé.	Cette pseudo-distance vérifie la séparibilité si et seulement si $X$ est un singleton.
La tribu $𝒜$ d'un espace mesuré $(X,𝒜,\mu )$ où $\mu$ est une mesure finie.	$d(A,B):=\mu (A\mathrm{\Delta }B)$ où $\mathrm{\Delta }$ désigne la différence symétrique.	Cette pseudo-distance est parfois appelée la pseudo-distance de Fréchet–Nikodym–Aronszajn.
La tribu $𝒜$ d'un espace mesuré $(X,𝒜,\mu )$ où $\mu$ est une mesure finie.	$d(A,B):=\frac{\mu (A\mathrm{\Delta }B)}{\mu (A\cup B)}$ si $\mu (A\cup B)\ne 0$ et $d(A,B):=0$ sinon.	Cette pseudo-distance est parfois appelée la pseudo-distance de Markzewisky–Steinhaus.

Cas particuliers

• Si $\mathrm{d}$ est un écart sur un ensemble $E$, alors $\min (1,\mathrm{d})$ est une pseudo-distance sur $E$.
• Si $p$ est une semi-norme sur un espace vectoriel $V$, alors $\mathrm{d}(x,y):=p(x-y)$ est une pseudo-distance sur $V$. Réciproquement, toute pseudo-distance invariante par translation et homogène provient d'une semi-norme.

Propriétés topologiques

La topologie pseudo-métrique associée à une pseudo-distance $\mathrm{d}$ est celle induite par l'ensemble des boules ouvertes :

$B_r\left(p\right)=\{x\in X\mid \mathrm{d}(p,x)<r\}$.

Un espace topologique est dit « pseudo-métrisable » s'il existe une pseudo-distance dont la topologie associée coïncide avec celle de l'espace.

Remarque : un espace est métrisable si (et seulement si) il est pseudo-métrisable et [[Espace de Kolmogorov|TModèle:Ind]].

Identification métrique

En quotientant un espace pseudo-métrique par la relation d'équivalence d'annulation de la pseudo-distance, on obtient un espace métrique. Plus explicitement, on définit

$x\sim y⟺\mathrm{d}(x,y)=0$,

et l'on obtient une distance ${\mathrm{d}}^{*}$ sur $E^{*}=E/\sim$ en posant :

${\mathrm{d}}^{*}(\left[x\right],\left[y\right])=\mathrm{d}(x,y)$.

La topologie de l'espace métrique $(E^{*},{\mathrm{d}}^{*})$ est la topologie quotient de celle de $(E,\mathrm{d})$.

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage

Voir aussi

• Espace métrique
• Espace quasi-métrique
• Espace uniforme