Excentricité (mathématiques)

Excentricité des différentes coniques. L'ellipse dessinée correspond à Modèle:Mvar = 0,5 et l'hyperbole à Modèle:Mvar = 2.

En géométrie euclidienne, l'excentricité est un paramètre caractéristique d'une courbe conique. C'est un nombre réel positif, souvent noté Modèle:Mvar.

Les coniques apparaissent notamment en mécanique newtonienne avec la trajectoire d’un corps ponctuel dans un champ gravitationnel radial. C’est donc, en première approximation, la forme des trajectoires des planètes autour du soleil, de leurs satellites et des comètes. Modèle:Article connexe Lorsqu’un corps a une trajectoire elliptique autour du soleil, ce dernier ne se trouve pas au centre de l’ellipse mais en l’un de ses foyers. L’excentricité mesure alors le décalage du foyer sur l’axe principal de l’ellipse. Elle est proche de 0 pour une trajectoire presque circulaire, et plus proche de 1 quand l’ellipse est très allongée.

Définition

Une conique est une courbe obtenue par section plane d’un cône de l’espace tridimensionnel euclidien. Elle se réalise aussi comme l’ensemble des points d’annulation d’une fonction quadratique, ou encore comme une courbe de niveau du rapport entre la distance à un point fixé (le foyer) et la distance à une droite (directrice).

Dans un repère orthonormal adapté, l’équation d’une conique non dégénérée se met sous l’une des trois formes suivantes :-

• $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ avec $a\ge b$ : la courbe est une ellipse ou un cercle et son excentricité s’écrit $e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$
• $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ : la courbe est une hyperbole et son excentricité s’écrit $e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}$
• $y^2=2px$ : la courbe est une parabole et son excentricité vaut 1.

Sauf pour le cercle, l'excentricité est le nombre positif $e$ tel que :

$e=\frac{\mathrm{M}\mathrm{F}}{\mathrm{M}\mathrm{H}}$

où le point Modèle:Math est un foyer et le point Modèle:Math désigne le projeté orthogonal du point Modèle:Math sur la droite Modèle:Math, appelée directrice.

Il apparaît dans la formule des coniques donnée en coordonnées polaires à partir de l'un de ses foyers :

$r(\theta )=\frac{p}{1-e\cos \theta }$.

Lorsque la valeur de Modèle:Mvar tend vers l'infini, la conique dégénère en une ligne droite : la droite Modèle:Math, sa directrice.

Lien avec une définition bifocale

Les ellipses et les hyperboles possèdent des définitions bifocales. Soient Modèle:Mvar et Modèle:Mvar deux points et Modèle:Mvar le milieu de [[[:Modèle:Mvar]]], Modèle:Mvar la distance Modèle:Mvar et Modèle:Mvar un réel positif.

pour Modèle:Formule, l'ensemble des points Modèle:Mvar tels que Modèle:Formule est une ellipse de foyer Modèle:Mvar (ou Modèle:Mvar) et d'excentricité Modèle:Formule

pour Modèle:Formule, l'ensemble des points Modèle:Mvar tels que Modèle:Formule est une hyperbole de foyer Modèle:Mvar (ou Modèle:Mvar) et d'excentricité Modèle:Formule

si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont confondus, c'est-à-dire si Modèle:Mvar est nul, la définition bifocale donne le cercle de centre Modèle:Mvar (confondu avec Modèle:Mvar) et de rayon Modèle:Mvar avec une excentricité nulle.

On peut ainsi voir l'excentricité comme un outil de déformation d'un cercle de centre Modèle:Mvar et de rayon a

• si Modèle:Mvar = 0, la définition bifocale donne un cercle de centre O et passant par Modèle:Mvar et Modèle:Mvar diamétralement opposés.
• pour 0 < Modèle:Mvar < 1, le centre se dédouble en deux foyers Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sur l'axe (Modèle:Mvar) et tels que Modèle:Formule, et le cercle se transforme en une ellipse de grand axe [[[:Modèle:Mvar]]]
• pour 1 < Modèle:Mvar, les foyers continuent à s'éloigner du centre, et le cercle devient une hyperbole de sommets Modèle:Mvar et Modèle:Mvar.