Exemple de Lewy

En mathématiques, l'exemple de Lewy est un exemple célèbre, dû à Hans Lewy, d'une équation aux dérivées partielles linéaire qui n'admet pas de solutions au sens des distributions, même si ses coefficients sont très réguliers car polynomiaux.

Ce résultat est à mettre en contraste avec d'une part le théorème de Cauchy-Kowalevski qui montre qu'une équation aux dérivées partielles linéaire ayant des coefficients et un terme source analytiques admet au moins une solution et d'autre part le théorème de Malgrange-Ehrenpreis qui affirme que toute équation aux dérivées partielles linéaire à coefficients constants admet au moins une solution.

L'exemple

Le résultat de Lewy est le suivant:

Dans $ℝ\times ℂ$, il existe une fonction lisse à valeurs complexes $F(t,z)$ telle que l'équation

$\frac{\partial u}{\partial \overline{z}}-iz\frac{\partial u}{\partial t}=F(t,z)$

n'admet pas de solutions sur n'importe quel ouvert.

Notons que si $F$ était analytique, le théorème de Cauchy-Kowalevski impliquerait l'existence d'une solution.

Lewy construit une telle fonction $F$ en utilisant le résultat suivant:

Dans $ℝ\times ℂ$, supposons que $u(t,z)$ soit une fonction telle que, dans un voisinage de l'origine,

$\frac{\partial u}{\partial \overline{z}}-iz\frac{\partial u}{\partial t}={\varphi }^{\prime }(t)$

pour une certaine fonction $\varphi$ de classe ${𝒞}^1$. Alors $\varphi$ est nécessairement analytique réelle dans un voisinage (possiblement plus petit) de l'origine.

Modèle:Lien a montré plus tard que l'équation encore plus simple

$\frac{\partial u}{\partial x}+ix\frac{\partial u}{\partial y}=F(x,y)$

qui ne dépend que de deux variables réelles $x$ et $y$ n'a parfois aucune solution. Il est remarquable que cette équation est l'une des plus simples parmi les équations aux dérivées partielles linéaires à coefficients non constants.

Références

• Modèle:Article.
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