Théorème de Malgrange-Ehrenpreis

En mathématiques, le théorème de Malgrange-Ehrenpreis énonce qu'un opérateur différentiel linéaire à coefficients constants non nul admet une fonction de Green. Il a été démontré en premier indépendamment par Leon Ehrenpreis et Bernard Malgrange.

Cela signifie que l'équation aux dérivées partielles

$P(\frac{\partial }{\partial x_1},\cdots ,\frac{\partial }{\partial x_{\ell }})u(𝐱)=\delta (𝐱),$

où $P$ est un polynôme à plusieurs variables et $\delta$ est la distribution de Dirac admet une solution (au sens des distributions) $u$ appelée solution fondamentale.

Ce théorème montre en particulier que l'équation

$P(\frac{\partial }{\partial x_1},\cdots ,\frac{\partial }{\partial x_{\ell }})v(𝐱)=f(𝐱)$

admet une solution pour toute distribution $f$ à support compact. En effet, on montre que $v=u*f$ est solution, où $*$ désigne le produit de convolution. Il n'y a cependant pas unicité de la solution en général.

L'analogue de ce résultat pour les opérateurs différentiels à coefficients non constants est faux, même dans le cas où les coefficients sont polynomiaux: voir l'exemple de Lewy.

Démonstrations

Les démonstrations originales de Malgrange et Ehrenpreis sont non-constructives car utilisant le théorème de Hahn-Banach. Depuis plusieurs démonstrations constructives ont été trouvées.

Il existe une démonstration très courte utilisant la transformée de Fourier et les polynômes de Bernstein-Sato. Par transformation de Fourier, le théorème de Malgrange–Ehrenpreis est équivalent au fait que n'importe quel polynôme à plusieurs variables non nul P a un inverse (au sens des distributions). Quitte à remplacer P par le produit de P avec son conjugué, on peut supposer que P est positif. Or pour les polynômes positifs l'existence d'un inverse au sens des distributions est une conséquence de l'existence du polynôme de Bernstein-Sato, ce qui implique que la fonction P^s peut être étendue en une fonction méromorphe de la variable complexe s. On montre alors que le terme constant de la série de Laurent de P^s en s = −1 est l'inverse au sens des distributions de P.

D'autres démonstrations, offrant souvent des meilleurs bornes sur la croissante de la solution, sont données dans Modèle:Harv, Modèle:Harv et Modèle:Harv.

Modèle:Harv présente une discussion détaillée sur les propriétés de régularité de la solution fondamentale.

Une démonstration courte et constructive est présentée dans Modèle:Harv:

$E=\frac{1}{\overline{P_m(2\eta )}}\sum _{j=0}^m{a}_j{e}^{{\lambda }_j\eta x}{ℱ}_{\xi }^{-1}\left(\frac{\overline{P(i\xi +{\lambda }_j\eta )}}{P(i\xi +{\lambda }_j\eta )}\right)$

est une solution fondamentale de P(∂), i.e., P(∂)E = δ, si P_m est la partie principale de P, η ∈ Rⁿ avec P_m(η) ≠ 0, les nombres réels λ₀, ..., λ_m sont deux-à-deux différents et

$a_j=\prod _{k=0,k\ne j}^m({\lambda }_j-{\lambda }_k{)}^{-1}.$

Références

• Modèle:Article
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• Modèle:Ouvrage
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• Modèle:Springer
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