Polynôme de Bernstein-Sato

En mathématiques, le polynôme de Bernstein-Sato est une construction mathématique qui facilite l'étude de certaines intégrales ou opérateurs différentielsModèle:,. Il tient son nom des mathématiciens Joseph Bernstein et Mikio Satō, qui l'ont découvert en 1971 et 1972Modèle:,. Ce polynôme joue un rôle important dans l'étude des équations aux dérivées partielles et est intimement lié à la construction des D-modules. Enfin, il permet de démontrer la régularité de certaines constructions de physique quantique des champsModèle:,.

Histoire

L'introduction des polynômes de Bernstein-Sato était initialement motivée par un problème posé par Israel Gelfand au congrès international des mathématiciens de 1954, à Amsterdam : si $f:{ℝ}^n\to ℝ$ est une fonction analytique réelle, alors on peut construire pour tout complexe $s$ l'objet $f_{+}^s(x)=1_{f(x)>0}f(x{)}^s$. En tant que fonction, $f_{+}^s$ est continue selon $x$ et analytique en $s$, là où $s$ est de partie réelle positive. Gelfand demande alors : peut-on prolonger analytiquement $f_{+}^s$ à tout le plan complexe ?

C'est pour répondre à cette question que Sato a introduit le polynôme $b$, dont Bernstein a montré l'existence en général.

La construction a depuis été étendue à des variétés algébriques générales et plusieurs algorithmes sont connus pour déterminer les polynômes de Bernstein-Sato dans des cas d'intérêtModèle:,.

Définition

Filtration de Bernstein

On se place dans l'algèbre de Weyl $A_n(k)$, la sous-algèbre de ${\mathrm{Hom}}_k(k[x_1,\dots ,x_n])$ engendrée par $x_1,\dots ,x_n,{\partial }_1,\dots ,{\partial }_n$, où ${\partial }_i$ est la dérivation par rapport à $x_i$. On utilise la notation multi-indicielle $x^{\mathit{\alpha }}=x_1^{{\alpha }_1}\cdots x_n^{{\alpha }_n}$ et ${\partial }^{\mathit{\beta }}=\underset{1}{\overset{{\beta }_1}{\partial }}\cdots \underset{n}{\overset{{\beta }_n}{\partial }}$. Alors la famille $\{x^{\mathit{\alpha }}{\partial }^{\mathit{\beta }}\}$ est une base de $A_n(k)$. On définit alors la filtration de Bernstein $ℱ$ par :

$F_i=\{\sum _{\mathit{\alpha },\mathit{\beta }}{a}_{\mathit{\alpha },\mathit{\beta }}{x}^{\mathit{\alpha }}{\partial }^{\mathit{\beta }}:|\mathit{\alpha }|+|\mathit{\beta }|\le i\}.$

L'anneau gradué associé est commutatif, et isomorphe à un anneau de polynômes sur $k$ donc noethérien.

Polynôme de Bernstein-Sato

Soit $\lambda$ une indéterminée formelle, et $P\in k[x]$ un polynôme non nul. Alors il existe un polynôme non nul $b\in k[\lambda ]$ et un élément $Q(\lambda ,x,\partial )\in A_n(k)[\lambda ]$ tels que l'égalité suivante est vérifiée : $b(\lambda )P^{\lambda }=Q(\lambda ,x,\partial )\cdot P^{\lambda +1}$.

L'ensemble des $b(\lambda )$ qui satisfont cette égalité forme un idéal de $k[\lambda ]$ ; cet idéal est principal et possède un générateur $b_0$, qui est appelé polynôme de Bernstein-Sato du polynôme $P$.

Exemples

• Considérons le polynôme $P=x_1^2+\cdots +x_n^2$ (qui correspond au calcul du carré de la norme euclidienne). On a $\mathrm{\Delta }P(x{)}^{\lambda +1}=4(\lambda +1)(\lambda +n/2)P(x{)}^{\lambda }$ de sorte que le polynôme de Bernstein-Sato de $P$ est $(\lambda +1)(\lambda +n/2)$.
• Considérons l'intégrale ${\mathrm{\Gamma }}_f(\lambda )=\underset{ℝ}{\int }{x}^{2\lambda }f(x)\mathrm{d}x$, avec $f$ une fonction $C^{\mathrm{\infty }}$qui s'annule aux infinis. En intégrant par parties, on obtient $(2\lambda +1)(2\lambda +2)\int x^{2\lambda }f(x)\mathrm{d}x=\int x^{2\lambda +1}{f}^{″}(x)\mathrm{d}x$ qui montre notamment que ${\mathrm{\Gamma }}_f$ est une intégrale bien définie et holomorphe (pour $\mathrm{Re}\lambda >0$) et qu'elle admet un prolongement méromorphe à $ℂ$, avec des pôles dans $-\frac{1}{2}\mathbb{N}$. On reconnaît en fait la présence du polynôme de Bernstein-Sato de $x^2$ calculé précédemment : $(\lambda +1)(\lambda +1/2)$.
• Il s'agit d'un phénomène général : l'intégrale de l'exemple précédent, où $x^2$ est remplacé par un polynôme quelconque, donne lieu à une équation fonctionnelle similaire. Elle sera donc prolongeable au plan complexe de manière méromorphe, et les pôles correspondent aux zéros du polynôme de Bernstein-Sato moins un entier.
• Soit $P=x_1^2+x_2^3$, alors le polynôme de Bernstein-Sato correspondant est $(\lambda +1)(\lambda +\frac{5}{6})(\lambda +\frac{7}{6})$.

Propriétés

• Tous les polynômes de Bernstein sont scindés sur $\mathbb{Q}$.
• Le polynôme de Bernstein-Sato montre qu'un polynôme peut être inversé par une distribution tempérée, d'où on tire le théorème de Malgrange-Ehrenpreis.