D-module

Modèle:Ébauche En mathématiques, un D-module est un module sur un anneau D d'opérateurs différentiels. L'intérêt principal des D-modules réside en son utilisation dans l'étude d'équations aux dérivées partielles.

D-modules sur des variétés algébriques

La théorie générale des D-modules nécessite une variété algébrique lisse X définie sur un corps K algébriquement clos de caractéristique nulle, par exemple K = C. Le faisceau des opérateurs différentiels D_X est défini comme la O_X-algèbre générée par les champs de vecteurs sur X, interprétés comme des dérivations. Un D_X-module (à gauche) M est un O_X-module avec une action de groupe (à gauche) de D_X. Se donner une telle action est équivalent à avoir une application K-linéaire

$\mathrm{\nabla }:D_X\to En{d}_K(M),v\mapsto {\mathrm{\nabla }}_v$

satisfaisant :

${\mathrm{\nabla }}_{fv}(m)=f{\mathrm{\nabla }}_v(m)$

${\mathrm{\nabla }}_v(fm)=v(f)m+f{\mathrm{\nabla }}_v(m)$ (c'est la règle de Leibniz)

${\mathrm{\nabla }}_{[v,w]}(m)=[{\mathrm{\nabla }}_v,{\mathrm{\nabla }}_w](m)$

Où f est une application régulière sur X, v et w sont des champs de vecteurs, m une section locale de M et où [−, −] désigne le commutateur.

Références

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage