Feuille brownienne

En mathématiques, une feuille brownienne est une généralisation multiparamétrique du mouvement brownien à un champ gaussien, plus précisément une généralisation du paramètre "temps" $t\in {ℝ}_{+}$ d'un mouvement brownien $B_t$ de temps $t\in {ℝ}_{+}^n$.

La dimension exacte $n$ de l'espace du nouveau paramètre temporel varie selon les auteurs. L'article présent suit John B. Walsh et définit la feuille (n,d)-brownienne, tandis que certains auteurs définissent la feuille brownienne spécifiquement uniquement pour $n=2$.

(n,d)-feuille brownienne

Un processus gaussien $B=(B_t,t\in {ℝ}_{+}^n)$ de dimension $d$ est une (n,d)-feuille brownienne, si

• la moyenne est $𝔼[B_t]=0$ pour tous $t=(t_1,\dots t_n)\in {ℝ}_{+}^n$
• la fonction de covariance est

$\mathrm{cov}(B_s^{(i)},B_t^{(j)})=\{\begin{array}{cc}\prod _{l=1}^n{s}_l\wedge t_l& \text{si }i=j,\\ 0& \text{sinon}\end{array}$

pour tous $1\le i,j\le d$.

Propriétés

• $B(0,t_2,\dots ,t_n)=B(t_1,0,\dots ,t_n)=\cdots =B(t_1,t_2,\dots ,0)=0$ presque sûrement.

Exemples

• La $(1,1)$-feuille brownienne est le mouvement brownien en ${ℝ}^1$.
• La $(1,d)$-feuille brownienne est le mouvement brownien en ${ℝ}^d$.
• La $(2,1)$-feuille brownienne $X_{t,s}$ est le mouvement brownien de dimension ${ℝ}^1$ et de temps $(t,s)\in {ℝ}_{+}\times {ℝ}_{+}$.

Bibliographie

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