Fonction à dérivée faible

En mathématiques, une fonction à dérivée faible est une généralisation du concept de la dérivée d'une fonction (dérivée forte) pour les fonctions non supposées différentiables, mais seulement intégrables, c'est-à-dire dans l'espace L^p : Modèle:Math.

Définition

Soit Modèle:Mvar une fonction dans l'espace de Lebesgue Modèle:Math. On dit que $v\in L^1([a,b])$ est une dérivée faible de Modèle:Mvar si,

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}u(t){\phi }^{\prime }(t)dt=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}v(t)\phi (t)dt$

pour toute fonction infiniment différentiable Modèle:Mvar telle que Modèle:Math. Cette définition est motivée par la technique d'intégration par parties.

Généralisation aux dimensions supérieures

Si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont dans l'espace Modèle:Math des fonctions localement intégrables pour certains ensembles ouverts $U\subset {ℝ}^n$, et si Modèle:Mvar est un multi-indice, on dit que Modèle:Mvar est la dérivée faible d'ordre Modèle:Mvar de Modèle:Mvar si

$\underset{U}{\int }u{D}^{\alpha }\phi =(-1{)}^{|\alpha |}\underset{U}{\int }v\phi ,$

pour tout $\phi \in C_c^{\mathrm{\infty }}(U)$, c’est-à-dire pour toutes les fonctions infiniment différentiables Modèle:Mvar avec support compact dans Modèle:Mvar. Ici Modèle:Math est défini comme

$D^{\alpha }\phi =\frac{{\partial }^{|\alpha |}\phi }{\partial x_1^{{\alpha }_1}\dots \partial x_n^{{\alpha }_n}}.$

Si Modèle:Mvar a une dérivée faible, il est souvent écrit Modèle:Math puisque les dérivées faibles sont uniques (au moins, jusqu'à un ensemble de mesure zéro, voir ci-dessous).

Exemples

• La fonction valeur absolue u : [−1, 1] → [0, 1], u(t) = |t|, qui n'est pas différentiable à t = 0, a une dérivée faible v connue sous le nom de fonction signe donné par

$v:[-1,1]\to [-1,1];t\mapsto v(t)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{si }t>0;\\ 0,& \text{si }t=0;\\ -1,& \text{si }t<0.\end{array}$

Ce n'est pas la seule dérivée faible de Modèle:Mvar : tout Modèle:Mvar égal à Modèle:Mvar presque partout est aussi une dérivée faible de Modèle:Mvar. Ce n’est généralement pas un problème, car dans la théorie de l'espace L^p et des espaces de Sobolev, les fonctions qui sont égales presque partout sont identifiées.

• La fonction caractéristique des nombres rationnels $1_{\mathbb{Q}}$ n'est nulle part différentiable, mais sa dérivée est faible. Puisque la mesure de Lebesgue des nombres rationnels est zéro,

$\int 1_{\mathbb{Q}}(t)\phi (t)dt=0.$

ainsi $v(t)=0$ est la dérivée faible de $1_{\mathbb{Q}}$. IL faut noter que ceci est en accord avec l'intuition puisque considérée comme membre d'un espace, $1_{\mathbb{Q}}$ est identique à la fonction nulle.

• la fonction escalier de Cantor c n'a pas de dérivée faible, bien qu'elle soit différentiable presque partout. En effet, toute dérivée faible de c devrait être égale presque partout à la dérivée classique de c, qui est égale à zéro presque partout. Mais la fonction zéro n'est pas une dérivée faible de c, comme le montre la comparaison avec une fonction test appropriée. Plus théoriquement, c n'a pas de dérivée faible car sa dérivée de distribution, à savoir la distribution de Cantor, est une mesure singulière et ne peut donc pas être représentée par une fonction.

Propriétés

Si deux fonctions sont des dérivées faibles de la même fonction, elles sont égales sauf sur un ensemble de mesure de Lebesgue nulle, c'est-à-dire qu'elles sont égales presque partout. Si on considère des classes d'équivalence de fonctions telles que deux fonctions sont équivalentes si elles sont égales presque partout, alors la dérivée faible est unique.

Aussi, si une fonction est différentiable au sens classique alors sa dérivée faible est identique (au sens donné ci-dessus) à sa dérivée classique (fort). Ainsi, la dérivée faible est une généralisation du précédent. De plus, les règles classiques pour les dérivées de sommes et les produits de fonctions valent également pour la dérivation faible.

Extensions

Ce concept donne lieu à la définition de solution faible dans les espaces de Sobolev, qui sont utiles pour les problèmes d'équations différentielles et dans l'analyse fonctionnelle.

Références

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage