Fonction K

En mathématiques, la fonction K est une généralisation de l'hyperfactorielle aux nombres complexes, similaire à la généralisation de la factorielle à la fonction gamma.

Définitions et propriétés

Formellement, la fonction K est définie comme

K (z) = (2 π)^{(- z + 1) / 2} \exp [(\begin{matrix} z \\ 2 \end{matrix}) + \int_{0}^{z - 1} \ln (Γ (t + 1)) d t] .

Ou encore

K (z) = \exp [ζ^{'} (- 1, z) - ζ^{'} (- 1)]

où $ζ^{'} (z)$ est la fonction dérivée de la fonction zêta de Riemann, $ζ (a, z)$ représente la fonction zêta de Hurwitz définie par

ζ^{'} (a, z) \overset{d e f}{=} {[\frac{\partial ζ (s, z)}{\partial s}]}_{s = a} .

Une autre expression utilisant la fonction polygamma est^[1]

K (z) = \exp (ψ^{(- 2)} (z) + \frac{z^{2} - z}{2} - \frac{z}{2} \ln (2 π))

K (z) = A e^{ψ (- 2, z) + \frac{z^{2} - z}{2}}

On peut montrer que pour tout $α > 0$ :

\int_{α}^{α + 1} \ln (K (x)) d x - \int_{0}^{1} \ln (K (x)) d x = \frac{1}{2} α^{2} (\ln (α) - \frac{1}{2})

Preuve : Pour cela, on pose $f$ définie par : $f (α) = \int_{α}^{α + 1} \ln (K (x)) d x$ . Après dérivation par rapport à $α$ :

f^{'} (α) = \ln (\frac{K (α + 1)}{K (α)})

.

Soit, par définition de la fonction K : $f^{'} (α) = α \ln (α)$ . Donc $f (α) = \frac{1}{2} α^{2} (\ln (α) - \frac{1}{2}) + C$ .

En spécialisant en $α = 0$ , on obtient $\int_{0}^{1} \ln (K (x)) d x = C$ , d'où l'identité annoncée.

La fonction K est étroitement liée à la fonction gamma et à la fonction G ; pour tout entier naturel n, on a

K (n) = \frac{(Γ (n))^{n - 1}}{G (n)} .

Car K prolonge l'hyperfactorielle sur les naturels :

K (n + 1) = 1^{1} 2^{2} 3^{3} \dots n^{n} .

Les premières valeurs sont

1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000... (Modèle:OEIS).