Fonction Schur-convexe

En mathématique, une fonction Schur-convexe (ou convexe au sens de Schur), aussi appelée S-convexe, fonction isotone ou fonction préservant l'ordre est une fonction $f:{ℝ}^d\to ℝ$ telle qu'elle conserve les relations d'ordre : pour tout $x,y\in {ℝ}^d$ tels que Modèle:Mvar est majorée par Modèle:Mvar, Modèle:Mvar satisfait Modèle:Math.

Nommée d'après Issai Schur, les fonctions Schur-convexes sont utilisées dans l'étude de la majorisation. Toute fonction qui est convexe et symétrique est aussi Schur-convexe, mais l'implication inverse n'est pas toujours vraie. Par contre, toute fonction Schur-convexe est symétrique (par rapport aux permutations de ses arguments).

Fonction Schur-concave

Une fonction Modèle:Mvar est dite Schur-concave si son opposée, -Modèle:Mvar, est Schur-convexe.

Critère de Schur-Ostrowski

Si Modèle:Mvar est symétrique et possède des dérivées partielles, alors Modèle:Mvar est Schur-convexe si et seulement si pour tout 1 ≤ i ≠ j ≤ d et en tout point de ${ℝ}^d$ :

$(x_i-x_j)(\frac{\partial f}{\partial x_i}-\frac{\partial f}{\partial x_j})\ge 0$.

Exemples

• $f(x)=\min (x)$ est Schur-concave et $f(x)=\max (x)$ est Schur-convexe (ceci se déduit rapidement de la définition des fonctions).
• La fonction entropie de Shannon $\sum _{i=1}^d{P}_i\cdot {\log }_2\frac{1}{P_i}$ est Schur-concave.
• La fonction entropie de Rényi est aussi Schur-concave.
• Assez naturellement, les fonctions $\sum _{i=1}^d{x}_i^k$ sont toutes Schur-convexes pour Modèle:Math.
• La fonction $f(x)=\prod _{i=1}^n{x}_i$ est Schur-concave, sur le domaine $({ℝ}_{+}{)}^d$. De même, les fonctions symétriques élémentaires sont Schur-concaves$({ℝ}_{+}{)}^d$.
• Une interprétation naturelle de la majorisation est que si $x\succ y$ alors Modèle:Mvar est plus étalé que Modèle:Mvar. Il est dès lors naturel de se demander si les mesures statistiques de variabilité sont Schur-convexes. La variance et déviation standard sont toutes les deux des fonctions Schur-convexes mais la valeur absolue des écarts ne l'est pas.
• Si Modèle:Mvar est une fonction convexe définie sur un intervalle réel, alors $\sum _{i=1}^{n}g(x_i)$ est Schur-convexe.
• Un exemple en probabilité : si $X_1,\dots ,X_n$ sont des variables aléatoires échangeables, alors la fonction espérance $𝔼\left(\prod _{j=1}^n{X}_j^{a_j}\right)$ est Schur-convexe comme une fonction du multi-indice $a=(a_1,\dots ,a_n)$, sous réserve que l'espérance existe.
• Le coefficient de Gini est strictement Schur-concave.

Voir aussi

Fonction quasi-convexe