Fonction aléatoire intrinsèque

Une fonction aléatoire intrinsèque d'ordre Modèle:Formule (en abrégé FAI-Modèle:Formule) est une classe d'équivalence de fonctions aléatoires respectant certaines conditions.

Cette propriété étend celle de fonction aléatoire intrinsèque. Une fonction aléatoire intrinsèque stricte est une représentation de FAI-Modèle:Formule.

On utilisera les notations suivantes dans la suite:

• Modèle:Formule une fonction aléatoire, définie sur un support borné
• Modèle:Formule une mesure, c'est-à-dire un système de poids Modèle:Formule associés aux points Modèle:Formule de l'espace.
• Modèle:Formule la FAI-Modèle:Formule dont Modèle:Formule est une représentation
• Modèle:Formule la translation selon un vecteur Modèle:Formule

Combinaisons linéaires autorisées

Une combinaison linéaire est dite autorisée (CLA) si elle admet une variance et qu'elle est de plus stationnaire d'ordre 2. On peut montrer que cela implique que $\sum _i{\lambda }_i{f}_{l_i}=0$ pour une famille complète Modèle:Formule d'exponentielles-polynômes (de combinaisons linéaires de produits de polynômes et d'exponentielles de formes linéaires sur les coordonnées).

Dans la pratique, cette famille sera prise comme la famille complète des monômes de degré inférieur à un certain Modèle:Formule, et on parlera alors de combinaisons linéaires autorisées d'ordre Modèle:Formule (CLA-Modèle:Formule). On notera Modèle:Formule l'ensemble des CLA-Modèle:Formule.

Fonctions aléatoire intrinsèques (d'ordre 0)

On introduit ainsi le variogramme Modèle:Formule, anciennement dénommé fonction de dispersion intrinsèque. Les seules combinaisons linéaires autorisées sont les combinaisons dont la somme des poids est nulle : Modèle:Formule.

Fonctions aléatoires intrinsèques d'ordre Modèle:Formule

De manière équivalente, une FAI-Modèle:Formule est une application linéaire Modèle:Formule d'un espace Modèle:Formule de CLA-Modèle:Formule dans un espace de Hilbert de variables aléatoires d'espérance nulle, avec Modèle:Formule stationnaire en Modèle:Formule.

On peut supposer dans la définition que l'espérance d'une CLA-Modèle:Formule est nulle, quitte à passer à l'ordre Modèle:Formule.

On appelle dérive de la FAI-Modèle:Formule Modèle:Pas clair. Toute FAI-Modèle:Formule est une FAI-Modèle:Formule sans dérive.

En géostatistique intrinsèque, une variable régionalisée sera considérée comme réalisation d'une représentation d'une FAI-Modèle:Formule. Une caractéristique intrinsèque sera tout paramètre du modèle probabiliste dépendant de la FAI-Modèle:Formule et non de la variable régionalisée. Par exemple, la dérive n'est pas intrinsèque.

Covariance généralisée

Soit Modèle:Formule la dimension de l'espace Modèle:Formule de définition de la variable régionalisée étudiée. Modèle:Énoncé

Dans ce cas :

$\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in {\mathrm{\Lambda }}_k,\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}[\tilde{Z}(\lambda ),\tilde{Z}(\mu )]=\iint \lambda (\mathrm{d}x)K(x-y)\mu (\mathrm{d}y)$

et dans le cas sans dérive :

$\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in {\mathrm{\Lambda }}_k,𝔼[\tilde{Z}(\lambda )\tilde{Z}(\mu )]=\iint \lambda (\mathrm{d}x)K(x-y)\mu (\mathrm{d}y)$

De plus, $K(h)\underset{h\to +\mathrm{\infty }}{=}O\left({\left|h\right|}^{2k+2}\right)$, et $\tilde{Z}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{d}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{i}\underset{h\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{K(h)}{{\left|h\right|}^{2k+2}}=0$.

Fonction de type positif conditionnel

Une fonction symétrique Modèle:Formule est dite de type positif conditionnel sur Modèle:Formule si :

$\mathrm{\forall }\lambda \in \mathrm{\Lambda },\iint \lambda \left(\mathrm{d}x\right)K(x-y)\lambda \left(\mathrm{d}y\right)\ge 0$

Toute covariance généralisée d'une FAI-Modèle:Formule est de type positif conditionnel sur Modèle:Formule et réciproquement.

Une fonction symétrique Modèle:Formule est dite de type positif conditionnel strict sur Modèle:Formule si de plus :

$\mathrm{\forall }\lambda \in \mathrm{\Lambda },\iint \lambda \left(\mathrm{d}x\right)K(x-y)\lambda \left(\mathrm{d}y\right)=0\Rightarrow \lambda =0$

Les polynômes pairs de degré au plus Modèle:Formule sont les seules fonctions continues symétriques Modèle:Formule pour lesquelles

$\mathrm{\forall }\lambda \in \mathrm{\Lambda },\iint \lambda \left(\mathrm{d}x\right)K(x-y)\lambda \left(\mathrm{d}y\right)=0$