Fonction caractéristique

En mathématiques, le terme « fonction caractéristique » peut faire référence à plusieurs concepts distincts :

• La fonction indicatrice d'un ensemble, c'est-à-dire c'est la fonction

${\mathrm{𝟏}}_A:X\to \{0,1\},$

qui pour un sous-ensemble A donné de X, associe la valeur 1 aux points de A et 0 aux points de $X\setminus A$.

• Il existe une fonction indicatrice pour les variétés affines sur un champ fini : étant donné un ensemble fini de fonctions $f_{\alpha }\in {𝔽}_q[x_1,\dots ,x_n]$, soit $V=\{x\in {𝔽}_q^n:f_{\alpha }(x)=0\}$ l'ensemble des points d'annulation. Ensuite, la fonction $P(x)=\prod (1-f_{\alpha }(x{)}^{q-1})$ agit comme une fonction d'indicatrice pour $V$ . Si $x\in V$, alors $P(x)=1$, sinon, pour certains $f_{\alpha }$, on a $f_{\alpha }(x)\ne 0$, ce qui implique que $f_{\alpha }(x{)}^{q-1}=1$, Par conséquent $P(x)=0$ .
• La fonction caractéristique de l'analyse convexe, étroitement liée à la fonction d'indicateur d'un ensemble:

${\chi }_A(x):=\{\begin{array}{cc}0,& x\in A;\\ +\mathrm{\infty },& x\in ̸A.\end{array}$

• Dans la théorie des probabilités, la fonction caractéristique de toute distribution de probabilité sur la droite réelle est donnée par la formule suivante, où X est une variable aléatoire avec la distribution en question:

${\phi }_X(t)=\mathrm{E}\left(e^{itX}\right),$

où E est l'espérance. Pour les distributions multivariées, le produit tX est remplacé par un produit scalaire de vecteurs.

• La fonction caractéristique d'un jeu coopératif dans la théorie des jeux.
• Le polynôme caractéristique en algèbre linéaire.
• La fonction d'état caractéristique en mécanique statistique.
• La caractéristique d'Euler, un invariant topologique.
• La caractéristique de fonctionnement du récepteur dans la théorie de la décision statistique.
• La fonction caractéristique ponctuelle dans les statistiques.