Fonction de Langevin

Fonction de Langevin (en rouge), avec deux approximations pour des petits x : développement en fraction continue tronqué (en vert), et développement limité à l'ordre 3 (en bleu).

La fonction de Langevin est due à Paul Langevin (1872-1946) et se définit par $L(x)=\coth (x)-\frac{1}{x}$ où coth est la fonction cotangente hyperbolique.

Contexte

La fonction de Langevin apparaît dans la description du paramagnétisme d'un matériau soumis à un champ magnétique uniforme Modèle:Formule, ainsi que celle de systèmes formellement apparentés comme un polymère librement joint soumis à une force de traction constante.

Le matériau est décrit comme une assemblée de dipôles magnétiques classiques indépendants, ayant chacun un moment magnétique Modèle:Formule dont la direction est libre mais le module, Modèle:Formule, est fixe. L'énergie de chaque dipôle est alors Modèle:Formule.

Calcul de l'aimantation moyenne

On se place à température fixée (ensemble canonique). Dans ce cas, l'aimantation du matériau vaut Modèle:Formule où Modèle:Formule est la densité de moments magnétiques et la valeur moyenne Modèle:Formule de ces moments est donnée par la loi de Boltzmann :

$⟨𝐦⟩=\frac{\int 𝐦e^{\frac{𝐦\cdot 𝐁}{k_{B}T}}d\mathrm{\Omega }}{\int e^{\frac{𝐦\cdot 𝐁}{k_{B}T}}d\mathrm{\Omega }}$

où Modèle:Formule est la constante de Boltzmann, Modèle:Formule la température, Modèle:Formule l'élément d'angle solide et où l'intégration se fait sur toutes les orientations possibles pour Modèle:Formule.

Résultat

Des manipulations élémentaires mènent alors à

$⟨M⟩=n\mu [\coth \left(\frac{\mu B}{k_{B}T}\right)-\frac{k_{B}T}{\mu B}]=n\mu L\left(\frac{\mu B}{k_{B}T}\right)$

où Modèle:Formule est la fonction de Langevin.

Comportement asymptotique

À champ non nul, lorsque la température tend vers zéro on a Modèle:Formule : l'aimantation sature (les spins sont gelés dans l'état fondamental). Lorsqu'on se place dans la limite des hautes températures Modèle:Formule, l'énergie thermique est très supérieure à l'énergie magnétique (régime entropique : les spins ne voient plus le champ magnétique).

Pour Modèle:Formule, la fonction de Langevin peut se développer en série de Taylor :

$L(x)=\frac{1}{3}x-\frac{1}{45}{x}^3+\frac{2}{945}{x}^5-\frac{1}{4725}{x}^7+\frac{2}{93555}{x}^9+\cdots$

ou en fraction continue généralisée :

$L(x)=\frac{x}{3+\frac{x^2}{5+\frac{x^2}{7+\frac{x^2}{9+\cdots }}}}$

Dans le régime des hautes températures (Modèle:Formule), on peut garder le seul premier terme de ces développements (Modèle:Formule), ce qui conduit à la loi de Curie :

$⟨M⟩=\frac{n{\mu }^{2}B}{3k_{B}T}=\chi B$

avec $\chi \propto \frac{1}{T}$ la susceptibilité magnétique.

La fonction de Langevin vérifie aussi la relation suivante, qui peut se déduire d'un analogue pour la fonction cotangente :

$\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^{*}L(x)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{2x}{x^2+n^2{\pi }^2}.$

Voir aussi

• Fonction de Brillouin : analogue de la fonction de Langevin pour des moments magnétiques quantiques.