Fonction de Tchebychev

La fonction de Tchebychev ψ(x) pour x < 50

En mathématiques, la fonction de Tchebychev peut désigner deux fonctions utilisées en théorie des nombres. La première fonction de Tchebychev Modèle:Math ou Modèle:Math est donnée par

$\vartheta (x)=\sum _{p\le x}\ln p$

où la somme est définie sur les nombres premiers Modèle:Mvar inférieurs ou égaux à Modèle:Mvar.

La seconde fonction de Tchebychev Modèle:Math est définie de façon similaire, la somme s'étendant aux puissances premières inférieures à  Modèle:Mvar :

$\psi (x)=\sum _{p^k\le x}\ln p=\sum _{n\le x}\mathrm{\Lambda }(n)=\sum _{p\le x}\lfloor {\ln }_{p}x\rfloor \ln p,$

où Modèle:Math désigne la fonction de von Mangoldt. Les fonctions de Tchebychev, notamment la seconde Modèle:Math, sont souvent utilisées dans des résultats sur les nombres premiers, car elles sont plus simples à utiliser que la fonction de compte des nombres premiers, Modèle:Math (voir la formule exacte, plus bas). Les deux fonctions de Tchebychev sont asymptotiquement équivalentes à Modèle:Mvar, un résultat similaire au théorème des nombres premiers.

Les deux fonctions sont nommées d'après Pafnouti Tchebychev.

Relations

La seconde fonction de Tchebychev peut être liée à la première comme suit :

$\psi (x)=\sum _{p\le x}k\ln p$

où Modèle:Mvar est l'unique entier tel que Modèle:Math et Modèle:Math. Les valeurs de Modèle:Mvar sont données dans la suite Modèle:OEIS2C. Une relation plus directe est donnée par

$\psi (x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\vartheta \left(x^{\frac{1}{n}}\right).$

La dernière somme a seulement un nombre fini de termes non-nuls, puisque

$\vartheta \left(x^{\frac{1}{n}}\right)=0\text{pour}n>{\log }_{2}x=\frac{\ln x}{\ln 2}.$

La seconde fonction de Tchebychev est le logarithme du plus petit commun multiple des entiers de 1 à Modèle:Mvar.

$\mathrm{ppcm}(1,2,\dots ,n)={\mathrm{e}}^{\psi (n)}.$

Les valeurs de Modèle:Math pour un entier Modèle:Mvar sont données par Modèle:OEIS2C.

Équivalents asymptotiques et bornes

On connait les bornes suivantes pour les fonctions de TchebychevModèle:, (dans ces formules Modèle:Math est le Modèle:Mvar-ème nombre premier : Modèle:Math, Modèle:Math, etc.)

$\begin{array}{cccc}\vartheta (p_k)& \ge k(\ln k+\ln \ln k-1+\frac{\ln \ln k-2,050735}{\ln k})& & \text{pour }k\ge 10^{11},\\ [8px]\vartheta (p_k)& \le k(\ln k+\ln \ln k-1+\frac{\ln \ln k-2}{\ln k})& & \text{pour }k\ge 198,\\ [8px]|\vartheta (x)-x|& \le 0,006788\frac{x}{\ln x}& & \text{pour }x\ge 10544111,\\ [8px]|\psi (x)-x|& \le 0,006409\frac{x}{\ln x}& & \text{pour }x\ge e^{22},\\ [8px]0,9999\sqrt{x}& <\psi (x)-\vartheta (x)<1,00007\sqrt{x}+1,78\sqrt[3]{x}& & \text{pour }x\ge 121.\end{array}$

De plus, sous l'hypothèse de Riemann,

$\begin{array}{cc}|\vartheta (x)-x|& =O\left(x^{\frac{1}{2}+\epsilon }\right)\\ |\psi (x)-x|& =O\left(x^{\frac{1}{2}+\epsilon }\right)\end{array}$

pour tout Modèle:Math.

Des bornes supérieures existent pour Modèle:Math et Modèle:Math telles queModèle:,

$\begin{array}{cc}\vartheta (x)& <1,000028x\\ \psi (x)& <1,03883x\end{array}$

pour tout Modèle:Math.

Une explication de la constante 1,03883 est donnée par Modèle:OEIS2C.

La formule exacte

En 1895, Hans Carl Friedrich von Mangoldt a prouvé une expression explicite pour Modèle:Math comme une somme sur les zéros non triviaux de la fonction zeta de Riemann :

${\psi }_0(x)=x-\sum _{\rho }\frac{x^{\rho }}{\rho }-\frac{{\zeta }^{\prime }(0)}{\zeta (0)}-\frac{1}{2}\ln (1-x^{-2}).$

(La valeur numérique de Modèle:Math est Modèle:Math.) Ici, Modèle:Mvar parcourt les zéros non triviaux de la fonction zêta, et Modèle:Math est égale à Modèle:Mvar, sauf en ces points de discontinuités (les puissances premières), où elle prend la valeur moyenne entre les valeurs haute et droite :

${\psi }_0(x)=\frac{1}{2}(\sum _{n\le x}\mathrm{\Lambda }(n)+\sum _{n<x}\mathrm{\Lambda }(n))=\{\begin{array}{cc}\psi (x)-\frac{1}{2}\mathrm{\Lambda }(x)& x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\ [5px]\psi (x)& \text{sinon.}\end{array}$

De la série de Taylor pour le logarithme, le dernier terme dans la formule explicite peut être écrit comme la somme de Modèle:Math sur les zéros triviaux de la fonction zêta, Modèle:Math, i.e.

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{-2k}}{-2k}=-\frac{1}{2}\ln (1-x^{-2}).$

De même, le premier terme, Modèle:Math, correspond au pôle simple de la fonction zêta en 1.

Propriétés

Un théorème d'Erhard Schmidt affirme que, pour une constante positive explicite Modèle:Mvar, il y a un nombre infini d'entiers naturels Modèle:Mvar tels que

$\psi (x)-x<-K\sqrt{x}$

et un nombre infini d'entiers naturels Modèle:Mvar tels queModèle:,

$\psi (x)-x>K\sqrt{x}.$

En notation de Landau, on peut l'écrire sous la forme

$\psi (x)-x\ne o\left(\sqrt{x}\right).$

Hardy et Littlewood ont trouvé le résultat suivant, plus précis :

$\psi (x)-x\ne o(\sqrt{x}\ln \ln \ln x).$

Relation aux primorielles

La première fonction de Tchebychev est le logarithme de la primorielle de Modèle:Mvar, noté Modèle:Math:

$\vartheta (x)=\sum _{p\le x}\ln p=\ln \prod _{p\le x}p=\ln \left(x\mathrm{\#}\right).$

On prouve ainsi que le primoriel Modèle:Math est asymptotiquement égal à Modèle:Math, et avec le théorème des nombres premiers, on peut déduire le comportement asymptotique de Modèle:Math.

Relation à la fonction de compte

La fonction de Tchebychev peut être reliée à la fonction de compte des nombres premiers. Si on pose

$\mathrm{\Pi }(x)=\sum _{n\le x}\frac{\mathrm{\Lambda }(n)}{\ln n}.$

Alors

$\mathrm{\Pi }(x)=\sum _{n\le x}\mathrm{\Lambda }(n)\underset{n}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{t{\log }^{2}t}+\frac{1}{\ln x}\sum _{n\le x}\mathrm{\Lambda }(n)=\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{\psi (t)\mathrm{d}t}{t{\log }^{2}t}+\frac{\psi (x)}{\ln x}.$

La transition de Modèle:Math à la fonction de compte, Modèle:Math, est obtenue à l'équation

$\mathrm{\Pi }(x)=\pi (x)+\frac{1}{2}\pi (\sqrt{x})+\frac{1}{3}\pi \left(\sqrt[3]{x}\right)+\cdots$

Puisque Modèle:Math, pour l'approximation, cette dernière relation peut être réécrite

$\pi (x)=\mathrm{\Pi }(x)+O\left(\sqrt{x}\right).$

L'hypothèse de Riemann

L'hypothèse de Riemann affirme que tous les zéros non triviaux de la fonction zêta ont pour partie réelle Modèle:Sfrac. Dans ce cas, Modèle:Math, et elle peut être décrite par

$\sum _{\rho }\frac{x^{\rho }}{\rho }=O\left(\sqrt{x}{\ln }^{2}x\right).$

De l'égalité, on déduit :

$\pi (x)=\mathrm{li}(x)+O(\sqrt{x}\ln x).$

De bonnes preuves de la véracité de l'hypothèse viennent du fait proposé par Alain Connes et d'autres, que si on différencie la formule de von Mangoldt par rapport à Modèle:Mvar, on a Modèle:Math. Par des calculs, on obtient la formule de trace de l'exponentielle de l'opérateur hamiltonien satisfaisant :

$\zeta (\frac{1}{2}+\mathrm{i}\hat{H})|n\ge \zeta (\frac{1}{2}+\mathrm{i}{E}_n)=0,$

et

$\sum _n{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}u{E}_n}=Z(u)={\mathrm{e}}^{\frac{u}{2}}-{\mathrm{e}}^{-\frac{u}{2}}\frac{\mathrm{d}{\psi }_0}{\mathrm{d}u}-\frac{{\mathrm{e}}^{\frac{u}{2}}}{{\mathrm{e}}^{3u}-{\mathrm{e}}^u}=\mathrm{Tr}\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}u\hat{H}}\right),$

où la somme trigonométrique peut être considérée comme la trace de l'opérateur Modèle:Math (en mécanique statistique), qui n'est vrai que si Modèle:Math.

Par une approche semi-classique, le potentiel de Modèle:Math satisfait :

$\frac{Z(u)u^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{\pi }}\sim \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(uV(x)+\frac{\pi }{4})}\mathrm{d}x$

avec Modèle:Math si Modèle:Math.

Des solutions de cette équation intégrale non linéaire peuvent être obtenues (entre autres) par

$V^{-1}(x)\approx \sqrt{4\pi }\cdot \frac{{\mathrm{d}}^{\frac{1}{2}}}{\mathrm{d}{x}^{\frac{1}{2}}}N(x)$

pour obtenir l'inverse du potentiel:

$\pi N(E)=\arg \xi (\frac{1}{2}+\mathrm{i}E).$

Fonction de lissage

La fonction de lissage est définie par

${\psi }_1(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\psi (t)\mathrm{d}t.$

On peut montrer que

${\psi }_1(x)\sim \frac{x^2}{2}.$

Formulation variationnelle

La fonction de Tchebychev en Modèle:Math minimise la fonctionnelle

$J[f]=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(s){\zeta }^{\prime }(s+c)}{\zeta (s+c)(s+c)}\mathrm{d}s-\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-st}f(s)f(t)\mathrm{d}s\mathrm{d}t,$

ainsi

$f(t)=\psi \left({\mathrm{e}}^t\right){\mathrm{e}}^{-ct}\text{pour }c>0.$

Références

• Modèle:Ouvrage

Liens externes

• Modèle:Mathworld
• Modèle:Planetmath
• Modèle:Planetmath
• Riemann's Explicit Formula, avec images et animations