Fonction de couplage

En mathématiques, une fonction de couplage, est une méthode permettant d’attribuer de manière unique un entier naturel à un couple d'entiers naturels.

En théorie des ensembles, on peut utiliser n'importe quelle fonction de couplage pour prouver que l'ensemble des entiers relatifs et celui des nombres rationnels ont la même cardinalité que l'ensemble des entiers naturels. En théorie de la calculabilité, la fonction de couplage de Cantor est utilisée pour coder les k-uplets, ainsi une fonction de Modèle:Math peut être représentée par une fonction de Modèle:Math.

Définition

Une fonction de couplage est une bijection calculable de Modèle:Math dans Modèle:Math.

Fonction de couplage de Cantor

Numérotation des éléments de N x N par la fonction de couplage de Cantor.

La fonction de couplage de Cantor $\pi :\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{N}$ est définie par

$\pi (x,y):=\frac{(x+y+1)(x+y)}{2}+y.$

Le théorème de Fueter-Pólya énonce que cette fonction est, avec la fonction $(x,y)\mapsto \pi (y,x)$, la seule fonction de couplage quadratique. En revanche, savoir s'il s'agit de la seule fonction polynomiale de couplage est encore une question ouverte. On note parfois $⟨x,y⟩$ le résultat de la fonction de couplage sur les entrées $x$ et $y$.

La fonction de Cantor peut être généralisée de la manière suivante :

${\pi }^{(n)}:{\mathbb{N}}^n\to \mathbb{N}$

avec

${\pi }^{(n)}(k_1,\dots ,k_{n-1},k_n):=\pi ({\pi }^{(n-1)}(k_1,\dots ,k_{n-1}),k_n).$

Construction graphique

Cette autre progression en diagonale, analogue mais différente de celle de la fonction de Cantor, fournit une autre fonction de couplage. Ici elle est utilisée pour prouver la dénombrabilité des nombres rationnels.

La fonction de couplage de Cantor est définie en parcourant ${\mathbb{N}}^2$ par diagonales successives.

En suivant l'énumération diagonale par diagonale La fonction de couplage de Cantor vérifie :

$\pi (0,0)=0$ ;

$\pi (x+1,0)=\pi (0,x)+1$ ;

$\pi (x,y+1)=\pi (x+1,y)+1$ ;

ce qui fournit une définition récursive de la fonction (le couple (x + y, x) décroît strictement à chaque appel récursif pour l'ordre lexicographique ).

Pour tout $t\in \mathbb{N}$, la diagonale d'équation $x+y=t$ contient $t+1$ points (de $(t,0)$ à $(0,t)$). Le nombre de points des diagonales qui précèdent celle du couple $(x,y)$ est donc égal à $\sum _{0\le t<x+y}(t+1)=\sum _{1\le s\le x+y}s=\frac{(x+y)(x+y+1)}{2}$ (le $(x+y)$-ième nombre triangulaire). Par conséquent l'image du couple $(x,y)$ est donnée par :

$\pi (x,y)=\frac{(x+y)(x+y+1)}{2}+y$.

Bijection réciproque

Modèle:Section travail inédit D'après la construction ci-dessus, $\pi$ est bijective, c'est-à-dire que pour tout $z\in \mathbb{N}$, il existe un unique couple $(x,y)\in {\mathbb{N}}^2$ tel que $z=\pi (x,y)$.

Retrouvons-le par analyse-synthèse en cherchant $(x,y,w)\in {\mathbb{N}}^3$ tel que $w=x+y$ et $\frac{w(w+1)}{2}+y=z$.

Ces deux équations impliquent

$\frac{w(w+1)}{2}\le z<\frac{w(w+1)}{2}+w+1=\frac{w(w+3)}{2}+1=\frac{(w+1)(w+2)}{2}$,

donc $w$ est nécessairement l'unique entier naturel tel que

$z\in [\frac{w(w+1)}{2},\frac{(w+1)(w+2)}{2}[$,

puis $y=z-\frac{w(w+1)}{2}$ et $x=w-y$, ce qui prouve l'injectivité.

Réciproquement, le triplet $(x,y,w)\in {\mathbb{N}}^3$ ainsi construit à partir de $z$ vérifie bien les deux équations, ce qui prouve la surjectivité.

La bijection réciproque de $\pi$ est donc donnée par :

${\pi }^{-1}(z)=(\frac{w(w+3)}{2}-z,z-\frac{w(w+1)}{2})$ avec $w$ égal à la partie entière du réel $w^{\prime }:=\frac{-1+\sqrt{1+8z}}{2}$ (solution de l'équation du second degré $z=\frac{w^{\prime }(w^{\prime }+1)}{2}$).

Autres fonctions de couplage

Via le bon ordre canonique sur ℕ×ℕ

Bon ordre sur ℕ² et bijection ℕ²→ℕ

On rencontre fréquemment la méthode suivante pour démontrer que ${\kappa }^2=\kappa$ (où $\kappa$ est un cardinal infini : un bon ordre est défini sur $\kappa \times \kappa$ dont chaque éléments possède $<\kappa$ prédécesseurs, de sorte que $\kappa \times \kappa$ et $\kappa$ sont isomorphes comme ensembles ordonnés et sont donc équipotents. Dans le cas plus simple où $\kappa =\mathbb{N}$ cette méthode conduit à une bijection ${\mathbb{N}}^2\to \mathbb{N}$. Modèle:Énoncé

Via une propriété arithmétique élémentaire

Une autre méthode consiste à utiliser la propriété arithmétique suivante : tout entier $n⩾1$ peut s'écrire d'une façon unique sous la forme du produit d'une puissance de 2 par un nombre impair, soit $n=2^a(2b+1)$, où $a,b\in \mathbb{N}$. L'application $f:{\mathbb{N}}^2⟶\mathbb{N}$ définie par $f(a,b)=2^a(2b+1)-1$ est ainsi une bijection.

Via l'écriture d'un nombre entier en base 2

Bourbaki utilise une injection $\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to \mathbb{N}$, afin de prouver l'équipotence de ces deux ensembles, dans le volume I des Éléments de mathématiques (III §6). Il s'avère que c'est une bijection.
Tout $n\in \mathbb{N}$ possède une unique écriture en base 2 $n=\overline{a_r\dots a_0}$ (où $a_r,\dots ,a_0\in \{0,1\}$ sont les chiffres de l'écriture de $n$), c'est-à-dire : $n={\sum }_{k=0}^r{a}_k{2}^k$. On observe que si $n>0$ alors $a_r=1$, et si $n=0$ alors $r=0$ et $n=\bar{0}$.
À l'entier $n$ on fait correspondre la suite $\phi (n)=({\varphi }_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ définie par ${\varphi }_i=\{\begin{array}{cc}{a}_i& \text{si}i⩽r,\\ 0& \text{si}i>r.\end{array}$
Dit autrement $\phi (n)$ est la suite infinie de 0 et de 1 qui commence par énumérer les chiffres de $n$ dans l'ordre inverse de leur écriture puis se poursuit par une infinité de 0, soit $(a_0,\dots ,a_r,\mathrm{𝟎},\dots )$. L'application $\phi$ est une bijection $\mathbb{N}:\to 𝔑$:= le sous-ensemble de $\{0,1{\}}^{\mathbb{N}}$ constitué des suites presque nulles (et ${\phi }^{-1}((a_i{)}_{i\in \mathbb{N}})=\sum _i{a}_i{2}^i$).

Par ailleurs, si $𝐱=(x_i{)}_{i\in \mathbb{N}},𝐲=(y_i{)}_{i\in \mathbb{N}}\in 𝔑$ on définit $𝐳=\psi [𝐱,𝐲]$ par $z_{2i}=x_i$ et $z_{2i+1}=y_i$ pour tout $i\in \mathbb{N}$.
L'application $\psi$ est évidemment une bijection ${𝔑}^2\to 𝔑$.

En conclusion $f:(m,n)⟼{\phi }^{-1}(\psi [\phi (m),\phi (n)])$ est une bijection ${\mathbb{N}}^2\to \mathbb{N}$.

Donnons un exemple : $(m,n)=(13,18)$. On a $m=\overline{1101},n=\overline{10010}$ ; alors Modèle:Centrer Donc $f(13,18)=601$.

Inversement, partant de $\ell =347=\overline{101011011}$, on a Modèle:Centrer Donc $347=f(29,3)$.

Voir aussi

Article connexe

Déployeur universel

Liens externes

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