Fonction loggamma

Modèle:Ébauche En analyse, la fonction loggamma est une fonction réelle, définie comme le logarithme naturel de la fonction Gamma pour tout réel strictement positif.

Définitions

Tracé de la fonction analytique Modèle:Math

La fonction Modèle:Math dans le plan complexe Modèle:Math vers Modèle:Math

La fonction loggamma est définie sur la demi-droite réelle positive par

$\begin{array}{cccc}\ln \circ \mathrm{\Gamma }:& {ℝ}_{+}& ⟶& ℝ\\ & x& \mapsto & \ln (\mathrm{\Gamma }(x))\end{array}$

En utilisant l'identité de Schlömlich, on a également :

$\mathrm{\forall }x>0,\ln \circ \mathrm{\Gamma }(x)=-\gamma x-\ln x+\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}[\frac{x}{k}-\ln (1+\frac{x}{k})].$

où Modèle:Mvar est la constante d'Euler-Mascheroni.

Elle donc la solution de l'équation fonctionnelle :

$f(z)=f(z+1)-\ln z.$

Une notation utilisée dans la littérature est $\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{\Gamma }$.

Équivalent asymptotique de la fonction de Binet

De la formule asymptotique de Stirling appliquée à la fonction Gamma, on tire :

$\ln \circ \mathrm{\Gamma }(x)=(x-\frac{1}{2})\ln x-x+\frac{1}{2}\ln (2\pi )+\mu (x)$

avec Modèle:Math la fonction de Binet vérifiant $\mu (x)=o_{x\to +\mathrm{\infty }}(x)$ On peut exprimer l'équivalent sous forme de reste intégral.

Ce reste intégral peut s'exprimer par deux formules, dite première formule de BinetModèle:, :

$\mu (x)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{1}{2}-\frac{1}{t}+\frac{1}{{\mathrm{e}}^t-1})\frac{{\mathrm{e}}^{-xt}}{t}\mathrm{d}t$

et deuxième formule de BinetModèle:,:

$\mu (x)=2\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\arctan (\frac{t}{x})}{{\mathrm{e}}^{2\pi t}-1}\mathrm{d}t$

Il existe également plusieurs représentations en série de la fonction de Binet, comme celui montré par Gudermann:

$\mu (x)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}[(x+k+\frac{1}{2})\ln (1+\frac{1}{x+k})-1]$

ou plus classiquement:

$\mu (x)=\sum _{n=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{c_n}{\prod _{k=1}^n(x+k)},\text{avec}{c}_n=\frac{1}{n}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(u-\frac{1}{2})\prod _{k=0}^{n-1}(u+k)\mathrm{d}u.$

Propriétés

La fonction log-gamma est convexe.

Valeurs spéciales

On a, pour tout entier strictement positif Modèle:Mvar :

$(\ln \circ \mathrm{\Gamma })(n)=\ln ((n-1)!)=\frac{n(n-1)}{2}.$

$(\ln \circ \mathrm{\Gamma })\left(\frac{n}{2}\right)=\frac{1}{2}\ln \pi +\ln [(n-2)!!]-\frac{n-1}{2}\ln 2.$

Développement en série

On aModèle:,:

$\mathrm{\forall }x\in ]-1;1],(\ln \circ \mathrm{\Gamma })(x+1)=-\gamma x+\sum _{n=2}^{+\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\zeta (n)x^n.$

Dérivées

La dérivée de la fonction log-gamma est la fonction digamma:

$\mathrm{\forall }x>0,(\ln \circ \mathrm{\Gamma }{)}^{\prime }(x)=\psi (x)=\frac{{\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(x)}{\mathrm{\Gamma }(x)}.$

Intégrales

Raabe a démontré l'égalitéModèle:, :

$\mathrm{\forall }x>0,\underset{0}{\overset{1}{\int }}\ln \left(\frac{\mathrm{\Gamma }(x+t)}{\sqrt{2\pi }}\right)\mathrm{d}t=x\ln x-x.$

dont on déduit :

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\ln \mathrm{\Gamma }(t)\mathrm{d}t=\ln (\sqrt{2\pi }).$

Elle peut se déduire de la formule de Lerch sur la dérivée de la fonction zêta de Hurwitz:

${\frac{\partial }{\partial s}\zeta (s,q)|}_{s=0}=\ln \left(\frac{\mathrm{\Gamma }(q)}{\sqrt{2\pi }}\right).$

La fonction loggamma admet comme représentations intégrales :

$(\ln \circ \mathrm{\Gamma })(x)=-\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(x-1-\frac{1-{\mathrm{e}}^{-(x-1)t}}{1-{\mathrm{e}}^{-t}})\frac{{\mathrm{e}}^{-t}}{t}\mathrm{d}t+\ln \left(\frac{\pi }{\sin (\pi x)}\right)$ (formule de Malmsten)

$(\ln \circ \mathrm{\Gamma })(x)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}((x-1){\mathrm{e}}^{-t}-\frac{(1+t{)}^{-x}-(1+t{)}^{-1}}{\ln (1+t)})\frac{1}{t}\mathrm{d}t$ (formule de Féaux)

$(\ln \circ \mathrm{\Gamma })(x)=-\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{{\mathrm{e}}^{-t}}{t}(\frac{{\mathrm{e}}^{tx}-1}{1-{\mathrm{e}}^{-t}}-x)\mathrm{d}t+\ln \left(\frac{\pi }{\sin (\pi x)}\right)$

On a égalementModèle:,:

$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{*},\underset{0}{\overset{1}{\int }}\ln \mathrm{\Gamma }(t)\sin (2\pi nt)\mathrm{d}t=\frac{\ln (2\pi )+\gamma +\ln n}{2\pi n},\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\underset{0}{\overset{1}{\int }}\ln \mathrm{\Gamma }(t)\sin ((2n+1)\pi t)\mathrm{d}t=\frac{\ln (2\pi )}{(2n+1)\pi }.$

$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\underset{0}{\overset{1}{\int }}\ln \mathrm{\Gamma }(t)\cos (2\pi nt)\mathrm{d}t=\frac{1}{4n},\underset{0}{\overset{1}{\int }}\ln \mathrm{\Gamma }(t)\cos ((2n+1)\pi t)\mathrm{d}t=\frac{2}{{\pi }^2}(\frac{\ln (2\pi )+\gamma }{(2n+1{)}^2}+2\sum _{k=2}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\ln k}{4k^2-(2n+1{)}^2}).$

$\mathrm{\forall }x>0,\underset{0}{\overset{1}{\int }}\ln \mathrm{\Gamma }(t)\zeta (x,t)\mathrm{d}t=\frac{\mathrm{\Gamma }(1-x)}{(2\pi {)}^{2-x}}\zeta (2-x)[\pi \sin \left(\frac{\pi x}{2}\right)+2\cos \left(\frac{\pi x}{2}\right)(\ln (2\pi )+\gamma -\frac{{\zeta }^{\prime }(2-x)}{\zeta (2-x)})].$

Utilisation

Du fait de la croissance surexponentielle de la fonction gamma, la fonction loggamma peut être utilisée pour le calcul de la fonction gamma pour de grandes valeurs.

Références

• Modèle:Article

Voir aussi

• Fonction digamma

Liens externes

• Modèle:Mathworld
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