Fonction sombrero

Fonction sombrero 3D

Une fonction sombrero (parfois appelée fonction besinc ou fonction jinc) est l'analogue bidimensionnel en coordonnées polaires de la fonction sinc et est ainsi appelée parce qu'elle a la forme d'un sombrero. Cette fonction est fréquemment utilisée dans le traitement d'images. Elle peut être définie via la fonction de Bessel du premier type où Modèle:Formule .

$\mathrm{somb}(\rho )=\frac{2J_1(\pi \rho )}{\pi \rho }$ .

Le facteur de normalisation Modèle:Formule fait Modèle:Formule. Parfois, le facteur Modèle:MathPi est omis, ce qui donne la définition alternative suivante :

$\mathrm{somb}(\rho )=\frac{2J_1(\rho )}{\rho }.$

Le facteur 2 est également souvent omis, donnant encore une autre définition et faisant que le maximum de la fonction est de 0,5 :

$\mathrm{somb}(\rho )=\frac{J_1(\rho )}{\rho }.$

Propriétés

Dérivée

On a :

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\rho }\left(\frac{J_1(\rho )}{\rho }\right)=-\frac{J_2(\rho )}{\rho }$

Équivalents

On a:

$\frac{J_1(\rho )}{\rho }\underset{\rho \to 0}{\sim }\frac{1}{2}\cos \left(\frac{\rho }{2}\right)\underset{\rho \to 0}{\sim }\frac{1}{2}(1-\frac{{\rho }^2}{8}),\frac{J_1(\rho )}{\rho }\underset{\rho \to \mathrm{\infty }}{\sim }\frac{1}{2}\cos (|\rho |-\frac{3\pi }{4})\sqrt{\frac{2}{\pi |\rho {|}^3}}$

Transformée de Fourier

La transformée de Fourier de la fonction sombrero est :

$ℱ(\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{b})(f)=\frac{\sqrt{1-f^2}}{\pi }11_{]-1;1[}(f).$

Applications

La transformée de Fourier de la fonction cercle 2D est une fonction sombrero. Celle-ci apparait donc dans le profil d'intensité de la diffraction d'un champ lointain par une ouverture circulaire, qu'on appelle une tache d'Airy.

Liens externes

• Modèle:Mathworld
• Jinc function sur le blog de John D. Cook

Références

• Modèle:Article