Formalisme ADM

Richard Arnowitt, Stanley Deser et Charles Misner lors de l'événement Modèle:Langue (2009), célébrant le cinquantième anniversaire de leur publication.

Le formalisme ADM est une formulation hamiltonienne de la relativité générale développée en 1959 par Richard Arnowitt, Stanley Deser et Charles W. Misner. Elle joue un rôle important dans les domaines de la gravité quantique et de la Modèle:Lien.

Le formalisme est présenté en entier dans un chapitre de Modèle:Langue (1962). Cette présentation a été publiée à nouveau en 2008 par la revue Modèle:Lien.

Le cinquantième anniversaire du formalisme ADM a été célébré du 7 au Modèle:Date- à la Texas A&M University.

Formalisme

Le formalisme ADMModèle:Sfn est une formulation hamiltonienne de la relativité généraleModèle:Sfn. Il suppose que l'espace-temps est feuilleté en une famille d'hypersurfacesModèle:Sfn de genre espace ${\mathrm{\Sigma }}_t$, marquées par un temps $t$, et dont les coordonnées de chaque « tranche » sont données par $x^i$.

La décomposition requiert que la variété M soit globalement hyperboliqueModèle:Sfn.

Les variables dynamiques de cette théorie sont données par le tenseur métrique des coupes en 3-D ${\gamma }_{ij}(t,x^k)$ ainsi que leur moment conjugué ${\pi }^{ij}(t,x^k)$. Le formalisme ADM est défini à l'aide de ces variables.

Le formalisme fait intervenir trois fonctions $\{\alpha ,{\beta }^i,{\gamma }_{ij}\}$Modèle:SfnModèle:,Modèle:Note des coordonnées $\{t,x^i\}$Modèle:Sfn :

• $\alpha$ est un scalaireModèle:Sfn dit la fonction lapsModèle:SfnModèle:,Modèle:Note. Elle mesure le temps propre entre les coupes voisinesModèle:SfnModèle:,Modèle:Note ;
• ${\beta }^i$ est un vecteurModèle:Sfn dit le vecteur décalageModèle:SfnModèle:,Modèle:Note. Il mesure la vitesse relative entre les observateurs se déplaçant perpendiculairement aux coupes et les courbes de coordonnées spatiales constantesModèle:Note ;
• ${\gamma }_{ij}$ est la métrique à trois dimensionsModèle:SfnModèle:,Modèle:Note. Elle mesure les distances propres au sein de la coupe de constante $t=\mathrm{d}{x}^0$Modèle:SfnModèle:,Modèle:Note.

Métrique ADM

Les trois fonctions permettent d'écrire la métrique comme suitModèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn :

$\begin{array}{cc}\mathrm{d}{s}^2=-c\mathrm{d}{\tau }^2& =-({\alpha }^2-{\beta }_i{\beta }^i)c^2\mathrm{d}{t}^2+2{\beta }_{i}c\mathrm{d}t\mathrm{d}{x}^i+{\gamma }_{ij}\mathrm{d}{x}^i\mathrm{d}{x}^j\\ & =(-{\alpha }^2+{\beta }_i{\beta }^i)c^2\mathrm{d}{t}^2+2{\beta }_{i}c\mathrm{d}t\mathrm{d}{x}^i+{\gamma }_{ij}\mathrm{d}{x}^i\mathrm{d}{x}^j\\ & =-{\alpha }^2{c}^2\mathrm{d}{t}^2+{\gamma }_{ij}(\mathrm{d}{x}^i+{\beta }^{i}c\mathrm{d}t)(\mathrm{d}{x}^j+{\beta }^{j}c\mathrm{d}t)\end{array}$, où $c$ est la vitesse de la lumière dans le vide,

avecModèle:Sfn :

$g_{00}=-{\alpha }^2+{\beta }_i{\beta }^i,g_{0i}={\beta }_i,g_{ij}={\gamma }_{ij}$,

$g^{00}=-\frac{1}{{\alpha }^2},g^{0i}=\frac{{\beta }^i}{{\alpha }^2},g^{ij}={\gamma }^{ij}-\frac{{\beta }^i{\beta }^j}{{\alpha }^2}$,

etModèle:Sfn :

$\sqrt{-g}=\alpha \sqrt{h}$.

Une telle métrique est dite métrique ADMModèle:SfnModèle:,Modèle:SfnModèle:,Modèle:Sfn.

La représentation matricielle d'une telle métrique est :

$g_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cc}{\beta }^2-{\alpha }^2& {\beta }_i\\ {\beta }_i& {\gamma }_{ij}\end{array}\right)$ ;

Utilisations

La formalisme permet de définir les grandeurs conservées d'un système isolé : l'énergie (ou la masse), le moment linéaire (c'est-à-dire la quantité de mouvement) et le moment angulaire (c'est-à-dire le moment cinétique)Modèle:Sfn.

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Chapitre.
• Modèle:Chapitre.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Chapitre.
• Modèle:Chapitre.
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