Forme antisymétrique

En algèbre linéaire, une forme antisymétrique est une forme multilinéaire anticommutative, c’est-à-dire dont une permutation des arguments correspond à la multiplication de la valeur par la signature de la permutation.

Définition

Soit $\varphi \in {ℒ}_{𝓃}(E)$ une forme $n$-linéaire avec $E$ un $K$-espace vectoriel. $\varphi$ est antisymétrique ssi

$\mathrm{\forall }\sigma \in {𝔖}_n,\mathrm{\forall }(x_1,\dots ,x_n)\in E^n,ϵ(\sigma )\varphi (x_1,\dots ,x_n)=\varphi (x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)})$

Où ${𝔖}_n$ est le groupe symétrique de $\{1,\dots ,n\}$.
En particulier puisque pour tout 2-cycle $\tau \in {𝔖}_n,ϵ(\tau )=-1$,

$\mathrm{\forall }(x_1,\dots ,x_n)\in E^n,\mathrm{\forall }(i,j)\in {\mathbb{N}}^2,1\le i<j\le n\Rightarrow \varphi (x_1,\dots ,x_i,\dots ,x_j,\dots ,x_n)=-\varphi (x_1,\dots ,x_j,\dots ,x_i,\dots ,x_n)$

Il y a même équivalence entre les deux assertions, la seconde étant plus simple à manier, c'est généralement la définition retenue.

Exemples

• Une forme bilinéaire $f$ sur $E$ est dite antisymétrique si :

  $\mathrm{\forall }x,y\in Ef(x,y)=-f(y,x)$.

• Le déterminant est une forme multilinéaire antisymétrique.
• Toute forme alternée est antisymétrique. La réciproque est vraie pour les espaces vectoriels réels ou plus généralement lorsque le corps des scalaires est de caractéristique différente de 2.