Formule d'Abel-Plana

En mathématiques, la formule d'Abel-Plana est une formule de sommation découverte indépendamment par Niels Henrik Abel (en 1823) et Giovanni Antonio Amedeo Plana (en 1820). Elle établit que

$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}f(a+n)=\underset{a}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x+\frac{f(a)}{2}+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(a-\mathrm{i}x)-f(a+\mathrm{i}x)}{\mathrm{i}({\mathrm{e}}^{2\pi x}-1)}\mathrm{d}x$

Pour le cas $a=0$ on a :

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}f(n)=\frac{1}{2}f(0)+\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x+\mathrm{i}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(\mathrm{i}t)-f(-\mathrm{i}t)}{{\mathrm{e}}^{2\pi t}-1}\mathrm{d}t.$

Cette formule est vraie pour les fonctions ƒ qui sont holomorphes dans la région Re(z) ≥ 0, et satisfaire une condition de croissance appropriée dans cette région ; par exemple, il suffit de supposer que Modèle:Math est borné par Modèle:Math dans cette région pour certaines constantes C, ε > 0, bien que la formule soit également valable sous des limites beaucoup plus faibles Modèle:Référence Harvard.

Un exemple est fourni par la fonction zêta de Hurwitz :

$\zeta (s,\alpha )=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{(n+\alpha {)}^s}=\frac{{\alpha }^{1-s}}{s-1}+\frac{1}{2{\alpha }^s}+2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sin (s\arctan \frac{t}{\alpha })}{({\alpha }^2+t^2{)}^{\frac{s}{2}}}\frac{\mathrm{d}t}{{\mathrm{e}}^{2\pi t}-1},$

qui est vérifiée pour tout $s\in ℂ-\{1\}$.

Abel a également donné la variation suivante pour les séries alternées :

$\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n}f(n)=\frac{1}{2}f(0)+\mathrm{i}\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(\mathrm{i}t)-f(-\mathrm{i}t)}{2\sinh (\pi t)}\mathrm{d}t,$

qui est lié à la formule de sommation de Lindelöf

$\sum _{k=m}^{+\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k}f(k)=(-1{)}^m\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}f(m-\frac{1}{2}+\mathrm{i}x)\frac{\mathrm{d}x}{2\cosh (\pi x)}.$

Preuve

Soit$f$ holomorphe sur $\mathrm{\Re }(z)\ge 0$, tel que $f(0)=0$, on a $f(z)=O(|z{|}^k)$ et pour $\arg (z)\in ]-\beta ,\beta [$, on a $f(z)=O(|z{|}^{-1-\delta })$. On prend $a={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\beta /2}$ avec le théorème des résidus $$\underset{a^{-1}\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}+\underset{0}{\overset{a\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(z)}{{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{i}\pi z}-1}\mathrm{d}z=-2\mathrm{i}\pi \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{Res}}_{z=n}\left(\frac{f(z)}{{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{i}\pi z}-1}\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}f(n).$$

Alors $$\begin{array}{cc}\underset{a^{-1}\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}\frac{f(z)}{{\mathrm{e}}^{-2i\pi z}-1}\mathrm{d}z& =-\underset{0}{\overset{a^{-1}\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(z)}{{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{i}\pi z}-1}\mathrm{d}z\\ & =\underset{0}{\overset{a^{-1}\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(z)}{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}\pi z}-1}\mathrm{d}z+\underset{0}{\overset{a^{-1}\mathrm{\infty }}{\int }}f(z)\mathrm{d}z\\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(a^{-1}t)}{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}\pi a^{-1}t}-1}\mathrm{d}(a^{-1}t)+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)\mathrm{d}t.\end{array}$$

En utilisant le théorème intégral de Cauchy pour la dernière intégrale $$\underset{0}{\overset{a\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(z)}{{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{i}\pi z}-1}\mathrm{d}z=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(at)}{{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{i}\pi at}-1}\mathrm{d}(at),$$

obtenant ainsi$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}f(n)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(f(t)+\frac{af(at)}{{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{i}\pi at}-1}+\frac{a^{-1}f(a^{-1}t)}{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}\pi a^{-1}t}-1})\mathrm{d}t.$$

Cette identité reste vraie par prolongement analytique partout où l'intégrale converge, donc en faisant tendre $a\to \mathrm{i}$ on obtient la formule d'Abel-Plana $$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}f(n)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(f(t)+\frac{\mathrm{i}f(\mathrm{i}t)-\mathrm{i}f(-\mathrm{i}t)}{{\mathrm{e}}^{2\pi t}-1})\mathrm{d}t.$$

Le cas Modèle:Nobr s'obtient de manière similaire en remplaçant ${\int }_{a^{-1}\mathrm{\infty }}^{a\mathrm{\infty }}\frac{f(z)}{{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{i}\pi z}-1}\mathrm{d}z$ par deux intégrales le long des mêmes courbes avec un petit écart à gauche et à droite de 0.

Lien avec la formule d'Euler-Maclaurin

En développant sous forme de série entière le terme $\frac{1}{{\mathrm{e}}^{2\pi z}-1}$ dans l'intégrande, on peut retrouver la formule d'Euler-Maclaurin.

Applications

La formule d'Abel-Plana a été utilisée comme alternative à la formule d'Euler-Maclaurin dans le calcul de séries divergentes, notamment celles apparaissant dans l'électrodynamique quantique.

Articles connexes

• Formule d'Euler-Maclaurin
• Sommation d'Euler-Boole

Références

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Liens externes

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