Formule de Cauchy pour l'intégration successive

Modèle:Ébauche La formule de Cauchy pour l'intégration successive, énoncée par Augustin Louis Cauchy, permet de condenser n intégrations en une seule. Elle est notablement généralisée en analyse fractionnaire.

Cas scalaire

Soit Modèle:Mvar une fonction réelle continue. D'après le premier théorème fondamental de l'analyse, une primitive n-ième de Modèle:Mvar est :

$x\mapsto \underset{a}{\overset{x}{\int }}\underset{a}{\overset{{\sigma }_1}{\int }}\cdots \underset{a}{\overset{{\sigma }_{n-1}}{\int }}f({\sigma }_n)\mathrm{d}{\sigma }_n\cdots \mathrm{d}{\sigma }_2\mathrm{d}{\sigma }_1$.

Sa version condensée en une seule intégrale est :

$f^{[n]}(x)=\frac{1}{(n-1)!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-y)}^{n-1}f(y)\mathrm{d}y$.

Une preuve peut être donnée par récurrence. Pour l'initialisation (n = 1), il n'y a rien à démontrer car les deux expressions ci-dessus coïncident.

Quelques calculs Modèle:Harv nous amènent à :

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{f}^{[n]}(x)=f^{[n-1]}(x)$.

De plus, Modèle:Math s'annule en Modèle:Mvar. Par hypothèse de récurrence, elle est donc bien la primitive n-ième de Modèle:Mvar spécifiée initialement.

Généralisations

La formule de Cauchy se généralise aux paramètres non entiers par l'intégrale de Riemann-Liouville, de $n\in \mathbb{N}$ aux complexes $\alpha \in ℂ,\mathrm{\Re }(\alpha )>0$, avec :

$f^{[\alpha ]}(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-y)}^{\alpha -1}f(y)\mathrm{d}y$

avec Modèle:Math la fonction Gamma d'Euler. Les deux formules coïncident sur la demi-droite des réels positifs.

On peut étendre la formule de Cauchy et l'intégrale de Riemann-Liouville à un espace de dimension arbitraire par le potentiel de Riesz.

Applications

En analyse fractionnaire, ces formules peuvent être utilisées pour construire un opérateur intégro-différentiel, qui permet de dériver ou intégrant à un ordre fractionnaire. La dérivation à un ordre fractionnel peut être réalisée en intégrant d'abord à un ordre fractionnel, puis en dérivant le résultat.

Références

Modèle:Traduction/Référence, dont les deux références étaient :

• • Modèle:Ouvrage ;
  • Modèle:Lien web.