Potentiel de Riesz

Le potentiel de Riesz est en physique mathématique un potentiel découvert par le mathématicien hongrois Marcel RieszModèle:,. Le potentiel de Riesz peut être vu comme l'inverse de l'opérateur laplacien à une certaine puissance sur un espace euclidien. Les potentiels de Riesz généralisent l'intégrale de Riemann–Liouville au cas à plusieurs variables.

Définition

Soit 0 < α < n, alors le potentiel de Riesz I_α f d'une fonction f localement intégrable sur Rⁿ est la fonction définie par

$$(I_{\alpha }f)(x)=\frac{1}{c_{\alpha }}\underset{{ℝ}^n}{\int }\frac{f(y)}{|x-y{|}^{n-\alpha }}\mathrm{d}y$$

où la constante c_α est donnée par

$$c_{\alpha }={\pi }^{n/2}{2}^{\alpha }\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha /2)}{\mathrm{\Gamma }((n-\alpha )/2)}$$

Cette intégrale singulière est définie à condition que f décroisse suffisamment rapidement à l'infini. C'est le cas en particulier si f ∈ L^p ( Rⁿ ) avec 1 ≤ p < n/α.

En fait, pour tout p ≥ 1, la décroissance de f et celle de I_αf sont liées, de par l'inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev.

$\Vert I_{\alpha }f{\Vert }_{p^{*}}\le C_p\Vert Rf{\Vert }_p,p^{*}=\frac{np}{n-\alpha p}$

où $Rf=D{I}_{1}f$ est la transformée de Riesz à valeur vectorielle.

Plus généralement, l' opérateur I_α est bien défini pour tout nombre complexe α tel que Modèle:Nobr.

On peut généraliser le potentiel de Riesz pour les distributions en le définissant comme la convolution

$I_{\alpha }f=f*K_{\alpha }$

où K _α est la fonction localement intégrable :

$K_{\alpha }(x)=\frac{1}{c_{\alpha }}\frac{1}{|x{|}^{n-\alpha }}$

Le potentiel de Riesz peut donc être défini pour toute distribution f à support compact. À cet égard, le potentiel de Riesz d'une mesure de Borel positive μ à support compact présente un intérêt en théorie du potentiel car I_α μ est alors une fonction sous-harmonique continue en dehors du support de μ, et est semi-continue inférieurement sur tout Rⁿ.

L'étude de la transformée de Fourier révèle que le potentiel de Riesz est un multiplicateur de Fourier. En effet, on a

$\widehat{K_{\alpha }}(\xi )=\underset{{ℝ}^n}{\int }{K}_{\alpha }(x)e^{-2\pi ix\xi }\mathrm{d}x=|2\pi \xi {|}^{-\alpha }$

et donc, d'après le théorème de convolution,

$\widehat{I_{\alpha }f}(\xi )=|2\pi \xi {|}^{-\alpha }\hat{f}(\xi )$

Les potentiels de Riesz ont une propriété de demi-groupe par exemple sur les fonctions continues rapidement décroissantes, on a :

$I_{\alpha }{I}_{\beta }=I_{\alpha +\beta }$

si on suppose que

$0<\mathrm{Re}\alpha ,\mathrm{Re}\beta <n,0<\mathrm{Re}(\alpha +\beta )<n.$

De plus, si Modèle:Nobr, alors

$\mathrm{\Delta }{I}_{\alpha +2}=I_{\alpha +2}\mathrm{\Delta }=-I_{\alpha }$

On a aussi, pour cette classe de fonctions,

$\underset{\alpha \to 0^{+}}{\lim }(I_{\alpha }f)(x)=f(x).$

Articles connexes

• Espace de Sobolev