Intégrale de Riemann-Liouville

En mathématiques, l'intégrale de Riemann-Liouville associe à une fonction réelle $f:ℝ\to ℝ$ une autre fonction Modèle:Formule de même nature pour chaque valeur du paramètre Modèle:Formule . L'intégrale est une manière de généraliser la primitive répétée de Modèle:Mvar en ce sens que pour des valeurs entières positives de Modèle:Mvar, Modèle:Formule est une primitive itérée de Modèle:Mvar d'ordre Modèle:Mvar . L'intégrale de Riemann-Liouville porte le nom de Bernhard Riemann et Joseph Liouville, ce dernier étant le premier à envisager la possibilité du calcul fractionnaire en 1832. L'opérateur s'accorde avec la transformée d'Euler, d'après Leonhard Euler, lorsqu'elle est appliquée aux fonctions analytiques. Elle a été généralisée à des dimensions arbitraires par Marcel Riesz, qui a introduit le potentiel de Riesz.

Définition

L'intégrale de Riemann-Liouville est définie par

${\mathrm{I}}^{\alpha }f(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)(x-t{)}^{\alpha -1}\mathrm{d}t$

où Modèle:Formule est la fonction gamma et Modèle:Mvar est un point de base arbitraire mais fixe. L'intégrale est bien définie pourvu que Modèle:Mvar soit une fonction localement intégrable, et Modèle:Mvar soit un nombre complexe dans le demi-plan Modèle:Formule . La dépendance au point de base Modèle:Mvar est souvent supprimée, et représente une liberté en constante d'intégration. Il est clair que Modèle:Formule est une primitive de Modèle:Mvar (du premier ordre), et pour des valeurs entières positives de Modèle:Mvar, Modèle:Formule est une primitive d'ordre Modèle:Mvar par la formule de Cauchy pour l'intégration successive. Une autre notation, qui met l'accent sur le point de base, est:

${}_a{\mathrm{D}}_x^{-\alpha }f(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)(x-t{)}^{\alpha -1}\mathrm{d}t.$

Cela a également un sens si Modèle:Formule, avec des restrictions appropriées sur Modèle:Mvar .

Les relations fondamentales suivantes sont vérifiées :

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\mathrm{I}}^{\alpha +1}f(x)={\mathrm{I}}^{\alpha }f(x),{\mathrm{I}}^{\alpha }({\mathrm{I}}^{\beta }f)={\mathrm{I}}^{\alpha +\beta }f,$

où la deuxième est une propriété de semi-groupe. Ces propriétés permettent non seulement de définir l'intégration fractionnaire, mais aussi la dérivation fractionnaire, en prenant suffisamment de dérivées de Modèle:Formule.

Propriétés

On fixe un intervalle borné Modèle:Math. L'opérateur Modèle:Formule associe à chaque fonction intégrable Modèle:Mvar sur Modèle:Math la fonction Modèle:Formule sur Modèle:Math qui est également intégrable par le théorème de Fubini. Ainsi Modèle:Formule définit un opérateur linéaire sur [[Espace Lp|Modèle:Formule]] :

${\mathrm{I}}^{\alpha }:L^1(a,b)\to L^1(a,b).$

Le théorème de Fubini montre également que cet opérateur est continu par rapport à la structure de l'espace de Banach sur Modèle:Math, et que l'inégalité suivante est vérifiée :

${\Vert {\mathrm{I}}^{\alpha }f\Vert }_1\le \frac{|b-a{|}^{\mathrm{\Re }(\alpha )}}{\mathrm{\Re }(\alpha )|\mathrm{\Gamma }(\alpha )|}\Vert f{\Vert }_1.$

Ici Modèle:Formule désigne la norme sur Modèle:Formule .

Plus généralement, d'après l'inégalité de Hölder, il s'ensuit que si Modèle:Formule, alors Modèle:Formule également, et l'inégalité analogue est vraie :

${\Vert {\mathrm{I}}^{\alpha }f\Vert }_p\le \frac{|b-a{|}^{\mathrm{\Re }(\alpha )/p}}{\mathrm{\Re }(\alpha )|\mathrm{\Gamma }(\alpha )|}\Vert f{\Vert }_p$

où Modèle:Formule est la [[Espace Lp|norme Modèle:Mvar ^Modèle:Mvar]] sur l'intervalle (a, b ) . On a donc un opérateur linéaire borné Modèle:Formule. De plus, Modèle:Formule au sens Modèle:Mvar comme Modèle:Formule le long de l'axe réel. C'est-à-dire

$\underset{\alpha \to 0^{+}}{\lim }\Vert {\mathrm{I}}^{\alpha }f-f{\Vert }_p=0$

pour tout Modèle:Formule . De plus, en estimant la Modèle:Lien de Modèle:Math, on peut montrer que la limite Modèle:Formule est vraie ponctuellement presque partout.

L'opérateur Modèle:Formule est bien défini sur l'ensemble des fonctions localement intégrables sur toute la droite réelle $ℝ$. Il définit une transformation bornée sur l'un des espaces de Banach des fonctions de type exponentielle $X_{\sigma }=L^1({\mathrm{e}}^{-\sigma |t|}\mathrm{d}t),$ constitué de fonctions localement intégrables dont la norme

$\Vert f\Vert =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(t)|{\mathrm{e}}^{-\sigma |t|}\mathrm{d}t$

est fini. Pour Modèle:Formule, la transformée de Laplace de Modèle:Formule prend la forme particulièrement simple

$(ℒ{\mathrm{I}}^{\alpha }f)(s)=s^{-\alpha }F(s)$

pour Modèle:Formule . Ici Modèle:Formule désigne la transformée de Laplace de Modèle:Mvar, et cette propriété exprime que Modèle:Formule est un multiplicateur de Fourier.

Dérivées fractionnaires

On peut également définir les dérivées d'ordre fractionnaire de Modèle:Mvar par

$\frac{{\mathrm{d}}^{\alpha }}{\mathrm{d}{x}^{\alpha }}f\stackrel{\text{def}}{=}\frac{{\mathrm{d}}^{\lceil \alpha \rceil }}{\mathrm{d}{x}^{\lceil \alpha \rceil }}{\mathrm{I}}^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f$

où Modèle:Formule désigne la fonction partie entière par excès. On obtient également une différence intégrale interpolant entre différenciation et intégration en définissant

${\mathrm{D}}_x^{\alpha }f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{{\mathrm{d}}^{\lceil \alpha \rceil }}{\mathrm{d}{x}^{\lceil \alpha \rceil }}{\mathrm{I}}^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f(x)& \text{ si }\alpha >0\\ f(x)& \text{ si }\alpha =0\\ {\mathrm{I}}^{-\alpha }f(x)& \text{ si }\alpha <0.\end{array}$

Une dérivée fractionnaire alternative a été introduite par Modèle:Harvard, et produit une dérivée qui a des propriétés différentes : elle produit zéro à partir de fonctions constantes et, plus important encore, les termes de valeur initiale de la transformée de Laplace sont exprimés au moyen des valeurs de cette fonction et de sa dérivée d'ordre entier plutôt que les dérivées d'ordre fractionnaire comme dans la dérivée de Riemann-Liouville Modèle:Harvard. La dérivée fractionnaire de Caputo de point de base Modèle:Mvar, est alors :

${\mathrm{D}}_x^{\alpha }f(y)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1-\alpha )}\underset{x}{\overset{y}{\int }}{f}^{\prime }(y-u)(u-x{)}^{-\alpha }\mathrm{d}u.$

Une autre représentation est :

${}_a{\tilde{\mathrm{D}}}_x^{\alpha }f(x)={\mathrm{I}}^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }\left(\frac{{\mathrm{d}}^{\lceil \alpha \rceil }f}{\mathrm{d}{x}^{\lceil \alpha \rceil }}\right).$

Dérivée fractionnaire d'une fonction puissance de base

La demi-dérivée (courbe violette) de la fonction Modèle:Formule (courbe bleue) avec la première dérivée (courbe rouge).

L'animation montre l'opérateur dérivé oscillant entre la primitive ( Modèle:Formule : Modèle:Formule

Supposons que Modèle:Formule soit un monôme de la forme

$f(x)=x^k.$

La dérivée première est comme d'habitude

$f^{\prime }(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)=k{x}^{k-1}.$

Répéter l'opération donne le résultat plus général :

$\frac{{\mathrm{d}}^a}{\mathrm{d}{x}^a}{x}^k=\frac{k!}{(k-a)!}{x}^{k-a},$

ce qui, après remplacement des factorielles par la fonction gamma, conduit à

$\frac{{\mathrm{d}}^a}{\mathrm{d}{x}^a}{x}^k=\frac{\mathrm{\Gamma }(k+1)}{\mathrm{\Gamma }(k-a+1)}{x}^{k-a},\mathrm{\forall }k>0.$

Pour Modèle:Formule et Modèle:Formule, on obtient la demi-dérivée de la fonction $x\mapsto x$ par :

$\frac{{\mathrm{d}}^{\frac{1}{2}}}{\mathrm{d}{x}^{\frac{1}{2}}}x=\frac{\mathrm{\Gamma }(1+1)}{\mathrm{\Gamma }(1-\frac{1}{2}+1)}{x}^{1-\frac{1}{2}}=\frac{\mathrm{\Gamma }(2)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{2}\right)}{x}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{\pi }}{2}}{x}^{\frac{1}{2}}.$

Pour démontrer qu'il s'agit en fait de la "demi-dérivée" (où Modèle:Formule ), on répète le processus pour obtenir :

$\frac{{\mathrm{d}}^{\frac{1}{2}}}{\mathrm{d}{x}^{\frac{1}{2}}}\frac{2x^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{\pi }}=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\frac{\mathrm{\Gamma }(1+\frac{1}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+1)}{x}^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }(1)}{x}^0=\frac{2\frac{\sqrt{\pi }}{2}{x}^0}{\sqrt{\pi }}=1,$

(car $\mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$ et Modèle:Formule ) qui est bien le résultat attendu de

$\left(\frac{{\mathrm{d}}^{\frac{1}{2}}}{\mathrm{d}{x}^{\frac{1}{2}}}\frac{{\mathrm{d}}^{\frac{1}{2}}}{\mathrm{d}{x}^{\frac{1}{2}}}\right)x=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x=1.$

Pour une puissance entière négative Modèle:Formule, $1/\mathrm{\Gamma }$ est nulle, il est donc intéressant d'utiliser la relation suivante :

$\frac{{\mathrm{d}}^a}{\mathrm{d}{x}^a}{x}^{-k}={(-1)}^a\frac{\mathrm{\Gamma }(k+a)}{\mathrm{\Gamma }(k)}{x}^{-(k+a)}\text{ pour }k\ge 0.$

Cette extension de l'opérateur différentiel ci-dessus n'a pas besoin d'être limitée uniquement aux puissances réelles, et peut s'appliquer également aux pouvoirs complexes. Par exemple, la Modèle:Formule -ième dérivée de la Modèle:Formule -ième dérivée donne la seconde dérivée. Définir également des valeurs négatives pour Modèle:Mvar donne des intégrales.

Pour une fonction générale Modèle:Formule et Modèle:Formule, la dérivée fractionnaire complète est

${\mathrm{D}}^{\alpha }f(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(1-\alpha )}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{f(t)}{{(x-t)}^{\alpha }}\mathrm{d}t.$

Pour Modèle:Mvar arbitraire, puisque la fonction gamma est infinie pour les entiers négatifs, il est nécessaire d'appliquer la dérivée fractionnaire après que la dérivée entière a été effectuée. Par exemple,

${\mathrm{D}}^{\frac{3}{2}}f(x)={\mathrm{D}}^{\frac{1}{2}}{\mathrm{D}}^{1}f(x)={\mathrm{D}}^{\frac{1}{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x).$

Transformation de Laplace

On peut aussi venir à la question via la transformée de Laplace. Sachant que

$ℒ\left\{\mathrm{I}f\right\}(s)=ℒ\{\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )\mathrm{d}\tau \}(s)=\frac{1}{s}\left(ℒ\left\{f\right\}\right)(s)$

et

$ℒ\left\{{\mathrm{I}}^{2}f\right\}=\frac{1}{s}\left(ℒ\left\{\mathrm{I}f\right\}\right)(s)=\frac{1}{s^2}\left(ℒ\left\{f\right\}\right)(s)$

et ainsi de suite, on a

${\mathrm{I}}^{\alpha }f={ℒ}^{-1}\{s^{-\alpha }(ℒ\{f\})(s)\}$ .

Par exemple,

${\mathrm{I}}^{\alpha }(t^k)={ℒ}^{-1}\left\{\frac{\mathrm{\Gamma }(k+1)}{s^{\alpha +k+1}}\right\}=\frac{\mathrm{\Gamma }(k+1)}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +k+1)}{t}^{\alpha +k}$

comme prévu. En effet, étant donné la règle de convolution

$ℒ\{f*g\}=(ℒ\{f\})(ℒ\{g\})$

et en raccourcissant Modèle:Formule pour plus de clarté, on trouve

$\begin{array}{cc}\left({\mathrm{I}}^{\alpha }f\right)(t)& =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{ℒ}^{-1}\left\{\right(ℒ\{p\}\left)\right(ℒ\{f\}\left)\right\}\\ & =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}(p*f)\\ & =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{0}{\overset{t}{\int }}p(t-\tau )f(\tau )\mathrm{d}\tau \\ & =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{(t-\tau )}^{\alpha -1}f(\tau )\mathrm{d}\tau \\ \end{array}$

ce qui revient au résultat obtenu par la formule de Cauchy donnée plus haut.

Exemples d'intégrales de Riemann-Liouville

• Fonctions puissances

L'intégrale de Riemann-Liouville de $f:x\mapsto x^{\beta }11_{{ℝ}_{+}}(x)$ est

${\mathrm{I}}^{\alpha }f(x)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\beta +1)}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta +1)}{x}^{\alpha +\beta }$

• Fonctions exponentielles

L'intégrale de Riemann-Liouville de $f:x\mapsto {\mathrm{e}}^{kx}11_{{ℝ}_{+}}(x)$ est

${\mathrm{I}}^{\alpha }f(x)=\frac{1}{k^{\alpha }}\sum _{p=0}^{+\mathrm{\infty }}\frac{(kx{)}^{p+a}}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +k+1)}=\frac{(kx{)}^a}{k^{\alpha }}{E}_{1,\alpha +1}(kx)$

où Modèle:Mvar désigne la fonction de Mittag-Leffler. En particulier, on a

${\mathrm{I}}^{\frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{-x}=\frac{2}{\sqrt{x}}F(\sqrt{x})$

où Modèle:Mvar est la fonction de Dawson.

Références

• Modèle:Springer.
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• Modèle:Article.
• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Ouvrage
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• Modèle:Article.
• Modèle:Article

Voir aussi

• Symbole d'un opérateur différentiel

Liens externes

• Modèle:Lien web
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