Transformation binomiale

En mathématiques, dans le domaine de l'analyse combinatoire, une suite est la transformation binomiale d'une autre si elle calcule les différences d'ordre successif entre les termes consécutifs.

Cette transformation est en rapport avec la transformation d'Euler, qui est le lien entre les séries génératrices ordinaires de deux suites qui sont la transformée binomiale l'une de l'autre. Un cas particulier de la transformation d'Euler est parfois utilisé pour accélérer la convergence de séries alternées (voir l'accélération des séries). Un autre cas particulier apparaît dans une application aux séries hypergéométriques.

Définition

La transformée binomiale Modèle:Math d'une suite Modèle:Math est la suite Modèle:Math définie par Modèle:Retrait où les $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=C_n^k$ désignent les coefficients binomiaux.

La transformée binomiale s'avère être la suite des Modèle:Math-ièmes différences de la suite originelle, avec signe négatif pour les différences impaires :

$s_0=a_0$

$s_1=-(\mathrm{△}a{)}_0=-(a_1-a_0)$

$s_2=({\mathrm{△}}^{2}a{)}_0=(a_2-a_1)-(a_1-a_0)=a_2-2a_1+a_0$

. . .

$s_n=(-1{)}^n({\mathrm{△}}^{n}a{)}_0$

où Modèle:Math est l'opérateur de différence.

Étant un opérateur linéaire, la transformation peut s'écrire comme

où Modèle:Math est une matrice de dimension infinie de coefficients $T_{nk}=(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$.

La suite de départ peut être retrouvée par Modèle:Retrait (Il existe de nombreuses démonstrations de cette propriété : voir par exemple le § « Formulation alternative » ci-dessous, ou l'article « Formule d'inversion de Pascal ».)

Cette transformation est donc une involution, c'est-à-dire $T\circ T=\mathrm{I}\mathrm{d}$ ou, en utilisant des notations indicielles :

Modèle:Retrait où Modèle:Math est le symbole de Kronecker.

Formulation alternative

Une autre définition de la transformation binomiale change le signe ($t_n=(-1{)}^n{s}_n$), en considérant la suite des différences finies en 0 de la suite $a$ (vue comme une fonction sur $\mathbb{N}\subset ℝ$) :

Avec ces notations, l'involutivité de la transformation $T$ ci-dessus équivaut à :

On peut donc la déduire du fait que le polynôme d'interpolation de Lagrange $L$ des $n+1$ points $(0,a_0),\dots ,(n,a_n)$ est égal à sa série de Newton en $0$ :

$L(x)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{k}){\mathrm{\Delta }}^k[L](0)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{k})t_k$,

en particulier

$a_n=L(n)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})t_k$.

Cette transformée binomiale se trouve par la table des différences. Chaque ligne reprend les différences de la ligne précédente.

La suite Modèle:Math (ligne supérieure) est la transformée binomiale de la diagonale Modèle:Math.

0		2		12		48		160		480
	2		10		36		112		320
		8		26		76		208
			18		50		132
				32		82
					50

Transformation d'Euler

Fonctions génératrices ordinaires

La transformation binomiale établit un lien entre les séries génératrices associées aux suites.

Soient les séries génératrices ordinaires

On tire

Cette relation entre les séries génératrices ordinaires est appelée transformation d'Euler.

Elle permet par exemple de démontrer que la transformée binomiale d'une suite récurrente linéaire est une suite récurrente linéaire de même ordre.

Accélération de séries

En posant Modèle:Math dans la relation précédente, la transformation d'Euler est utilisée pour accélérer la convergence des séries alternées. En effet :

Les termes du membre de droite diminuent généralement beaucoup plus vite, permettant ainsi un calcul numérique rapide de la somme.

Fonction hypergéométrique

L'application de la transformation d'Euler à la fonction hypergéométrique ${}_2{F}_1$ donne la relation

Fractions continues

La transformation binomiale, et ses variantes comme la transformation d'Euler, sont connues pour leur lien avec la représentation des réels par des fractions continues. Soit Modèle:Math un réel représenté par la fraction continue (éventuellement généralisée) suivante : Modèle:Retrait Alors Modèle:Retrait

Fonction génératrice exponentielle

Considérons des séries génératrices exponentielles,

et

Alors

La sommation de Borel convertit les séries génératrices ordinaires en séries génératrices exponentielles.

Représentation intégrale

Lorsque la suite peut être interpolée par une fonction analytique complexe, alors la transformée binomiale de la suite peut être représentée par la moyenne d'une intégrale de Nörlund-Rice sur la fonction d'interpolation.

Généralisations

• Prodinger a donné une transformation de type modulaire :Modèle:RetraitElle donneModèle:Retraitoù Modèle:Math et Modèle:Math sont les séries génératrices ordinaires associées aux suites Modèle:Math et Modèle:Math.
• Spivey et Steil ont défini la transformation montante k-binomiale parModèle:Retraitet la transformation descendante k-binomiale parModèle:RetraitCes deux transformations sont des endomorphismes du noyau de la transformation de Hankel d'une suite.

Opérateur de décalage

La transformation binomiale correspond à l'opérateur de décalage pour la suite des nombres de Bell, c'est-à-dire :

où les Modèle:Math représentent les nombres de Bell.

Voir aussi

Articles connexes

• Série de Newton
• Transformation de suite
• Transformée de Möbius
• Modèle:Lien