Formule de Dobiński

En combinatoire, la formule de Dobiński donne une expression du nombre de Bell $B_n$ de rang Modèle:Mvar (c'est-à-dire du nombre de partitions d'un ensemble de taille Modèle:Mvar) sous forme de somme de série :

$B_n=\frac{1}{\mathrm{e}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{k^n}{k!}.$

La formule porte le nom de G. Dobiński, qui l'a publiée en 1877.

Version probabiliste

Dans le cadre de la théorie des probabilités, la formule de Dobiński exprime le Modèle:Mvar-ième moment de la loi de Poisson de moyenne 1. Parfois, la formule de Dobiński est énoncée comme disant que le nombre de partitions d'un ensemble de taille Modèle:Mvar est égal au Modèle:Mvar-ième moment de cette loi.

Formule réduite

Le calcul de la somme de la série de Dobiński peut être réduit à une somme finie de $n+o(n)$ termes, en tenant compte du fait que $B_n$ est un entier. Précisément, on a, pour tout entier $K>1$ vérifiant $\frac{K^n}{K!}⩽1$ :

$B_n=\lceil \frac{1}{\mathrm{e}}\sum _{k=0}^{K-1}\frac{k^n}{k!}\rceil$

où $\lceil .\rceil$ est la partie entière supérieure.

En effet, on a $\frac{(K+j{)}^n}{(K+j)!}⩽\frac{K^n}{K!}\frac{1}{j!}⩽\frac{1}{j!}$ pour tout $j⩾0$ , de sorte que le reste $\sum _{k⩾K}\frac{k^n}{k!}=\sum _{j⩾0}\frac{(K+j{)}^n}{(K+j)!}$ est dominé par la série $\sum _{j⩾0}\frac{1}{j!}=\mathrm{e}$, ce qui implique $0<B_n-\frac{1}{\mathrm{e}}\sum _{k=0}^{K-1}\frac{k^n}{k!}<1$, d'où la formule réduite.

La condition $\frac{K^n}{K!}⩽1$ implique $K>n$ mais est satisfaite par un certain $K$ de taille $n+o(n)$ .

Généralisation

La formule de Dobiński peut être vue comme le cas particulier, pour $x=0$, de la relation plus générale :

$\frac{1}{\mathrm{e}}\sum _{k=x}^{\mathrm{\infty }}\frac{k^n}{(k-x)!}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})B_k{x}^{n-k}.$

Démonstration de la formule de Dobiński

Une preuve repose sur la formule de la fonction génératrice des nombres de Bell ,

${\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^x-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_n}{n!}{x}^n.$

Le développement en série entière de l'exponentielle donne

${\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^x}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{e}}^{kx}}{k!}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(kx{)}^n}{n!}$

d'où

${\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^x-1}=\frac{1}{\mathrm{e}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(kx{)}^n}{n!}$

Le coefficient de $x^n$ dans cette série doit être $B_n/n!$, donc

$B_n=\frac{1}{\mathrm{e}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{k^n}{k!}.$